REGISTRO DELLE LEZIONI DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CIVILE
6 CFU - A.A. 2021/2022
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 16. dicembre 2021

1.          Lunedì 27/9/2021, 15–18.         ore: 3(3)

Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti. Esempi di problemi mal posti. Numero di condizionamento. Algoritmi. Algoritmi: stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Spazi vettoriali. Sottospazi. Esempi. Gli spazi $C[a,b]$ e $L^2[a,b]$. Lo spazio dei polinomi. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da $k$ vettori. Indipendenza lineare. Basi e dimensione. Spazi a dimensione infinita.

2.          Giovedì 30/9/2021, 15–18.         ore: 3(6)

Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Principali norme utilizzate per le funzioni. Normalizzazione. Spazi metrici. Norme equivalenti. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di ${\mathbb{R}}^n$ e di $L^2[a,b]$. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di ${\mathbb{R}}^n$ e con la norma-2. Esempi. Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango.

3.          Lunedì 4/10/2021, 15–18.         ore: 3(9)

Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico, spettro e raggio spettrale. Proprietà degli autovalori. Matrici difettive. Matrici con struttura e loro proprietà: matrici Hermitiane, simmetriche, unitarie, ortogonali, triangolari, diagonali. Cenni sulle matrici sparse. Norme matriciali e loro proprietà. Norme naturali indotte dalle norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Sistemi di numerazione. Origine degli errori. Numeri di macchina. Virgola fissa e virgola mobile. Underflow e overflow. Troncamento, arrotondamento ed errori ad essi associati. Errore di memorizzazione. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Condizionamento della somma algebrica, cancellazione.

4.          Giovedì 7/10/2021, 15–18.         ore: 3(12)

Riepilogo propagazione degli errori. Esempi. Sistemi lineari. Notazione. Numero di condizionamento e proprietà. Sistemi lineari diagonali, ortogonali e triangolari. Algoritmi, complessità e occupazione di memoria. Schema di calcolo del metodo di triangolarizzazione di Gauss. Fattorizzazione $A=LU$ e suo impiego per la risoluzione di un sistema, il calcolo del determinante e il calcolo della matrice inversa.

5.          Lunedì 11/10/2021, 15–18.         ore: 3(15)

Riepilogo algoritmo di Gauss. Schematizzazione del passo $k$ ed espressione dei moltiplicatori. Pivoting parziale per evitare il breakdown dell'algoritmo e la propagazione degli errori. Esempi. Matrici di permutazione e di scambio. Fattorizzazione $PA=LU$. Risoluzione di sistemi e calcolo di determinante e matrice inversa. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche definite positive e suo impiego per la risoluzione di un sistema e il calcolo di un determinante. Algoritmo per il calcolo della fattorizzazione. Complessità e considerazioni numeriche.

6.          Giovedì 14/10/2021, 15–18.         ore: 3(18)

Riepilogo fattorizzazioni matriciali. Fattorizzazione QR: confronto con la fattorizzazione LU. Matrici elementari di Householder. Costruzione ottimizzata, vantaggi in termini di complessità e stabilità, algoritmo. Dimostrazione del calcolo su Matlab. Algoritmo di fattorizzazione QR di Householder: analisi dei primi due passi e del passo generico. Espressione della matrice $Q$.

7.          Lunedì 18/10/2021, 15–18.         ore: 3(21)

Fattorizzazione QR di una matrice rettangolare. Laboratorio. Implementazione in Matlab della fattorizzazione QR di Householder. Realizzazione di una sperimentazione numerica al variare della dimensione sulla risoluzione di sistemi lineari. Lezione. Sistemi lineari quadrati, sovradeterminati e sottodeterminati a rango pieno. Problemi ai minimi quadrati. Risoluzione mediante la fattorizzazione QR. Cenni sulla risoluzione mediante equazioni normali e fattorizzazione di Cholesky.

8.          Venerdì 22/10/2021, 9–12.         ore: 3(24)

Metodi iterativi per sistemi lineari. Vantaggi per sistemi di grandi dimensioni. Convergenza e consistenza. Metodi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizioni per la consistenza e per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. I metodi di Jacobi e di Gauss–Seidel. Criteri di arresto. Precondizionamento. Espressione del metodo mediante il residuo. Precondizionamento mediante fattorizzazioni LU e Cholesky incomplete. Metodi di Richardson. Introduzione al metodo del gradiente. Calcolo del gradiente di espressioni matriciali e vettoriali. Metodi di discesa. Calcolo del passo ottimale.

9.          Lunedì 25/10/2021, 15–18.         ore: 3(27)

Matrici sparse in Matlab. Riepilogo metodi di discesa e calcolo del passo ottimale. Il metodo del gradiente. Calcolo ottimizzato del residuo. Algoritmo. Cenni sul precondizionamento. Ottimalità di un punto rispetto ad una direzione. Condizione necessaria e sufficiente per l'ottimalità. Direzioni $A$-coniugate. Calcolo di direzioni coniugate. Il metodo del gradiente coniugato. Algoritmo. Condizione di stop. Precondizionamento mediante fattorizzazione di Cholesky incompleta. Applicazione alle equazioni normali: il metodo CGLS. Cenni sui metodi di Krylov.

10.          Giovedì 28/10/2021, 15–18.         ore: 3(30)

Autovalori e autovettori. Matrici simili, diagonalizzabili, unitariamente diagonalizzabili. Fattorizzazione spettrale. Forma di Schur. Proprietà delle matrici Hermitiane. Matrici normali. Cenni sulla forma di Jordan e sulla SVD. Principal component analysis: approssimazione di una matrice mediante uno sviluppo troncato. Applicazione all'analisi di reti. Introduzione agli algoritmi numerici. Teorema di Bauer–Fike. Il metodo delle potenze. Ipotesi del metodo e dimostrazione della convergenza. Implementazione con normalizzazione. Condizione di stop.

11.          Giovedì 4/11/2021, 15–18.         ore: 3(33)

Riepilogo metodo delle potenze. Algoritmo. Il metodo delle potenze inverse per il calcolo dell'autovalore più piccolo in modulo, l'autovalore più vicino ad una stima prefissata, e per trovare l'autovettore corrispondente ad un autovalore noto. Algortimo QR per il calcolo degli autovalori. Invarianti QR: similitudine e simmetria. Costruzione della forma di Schur, o della fattorizzazione spettrale nel caso di una matrice simmetrica. Condizioni per la convergenza e stratagemma da seguire in caso di non convergenza. Trasformazione di similitudine di una matrice in forma di Hessenberg. Vantaggi per l'algoritmo QR. Introduzione alla soluzione di equazioni nonlineari. Convergenza e ordine di un metodo iterativo. Radici multiple e criterio analitico per la loro identificazione.

12.          Lunedì 8/11/2021, 15–18.         ore: 3(36)

Laboratorio. Costruzione di un sistema lineare con matrice simmetrica, definita positiva e sparsa. Uso di matrici sparse e loro visualizzazione con la funzione spy. Sperimentazione numerica sull'uso del gradiente coniugato con o senza precondizionamento. Construzione di una matrice con autovalori assegnati. Lezione. Serie di Taylor. Funzioni nonlineari con radici multiple. Condizionamento del problema in presenza di una radice semplice o doppia. Calcolo delle radici di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo di bisezione. Studio della convergenza. Scrittura dell'algoritmo.

13.          Giovedì 11/11/2021, 15–18.         ore: 3(39)

Il metodo di Newton. Formulazione geometrica e analitica del metodo. Dimostrazione della convergenza e determinazione dell'ordine di convergenza nel caso di una radice semplice. Condizione di stop. Metodi quasi-Newton. Il metodo delle corde. Il metodo delle secanti e confronto col metodo di Newton. Funzioni di iterazione. Punti fissi. Varie funzioni di iterazione per l'equazione di Fibonacci. Definizione di contrattività. Teorema sulla convergenza dei metodi basati su una funzione di iterazione contrattiva.

14.          Giovedì 18/11/2021, 15–17.         ore: 2(41)

Riepilogo funzioni di iterazione e teorema di convergenza. Condizione perché il metodo sia del second'ordine. Analisi del metodo di Newton nel caso di una radice doppia. Sistemi di equazioni nonlineari. Formulazione vettoriale. Matrice Jacobiana. Sviluppo di Taylor troncato di una funzione vettoriale. Il metodo di Newton multidimensionale. Implementazione mediante risoluzione di un sistema lineare a ogni passo. Metodi quasi-Newton: approssimazione dello Jacobiano. Discussione di alcune applicazioni. Teorema di Ostrowsky e teorema sulla convergenza del metodo di Newton.

15.          Lunedì 22/11/2021, 15–18.         ore: 3(44)

Introduzione alle equazioni differenziali. Il problema di Cauchy. Funzioni Lipschitziane. Relazione con la derivabilità. Esistenza e unicità della soluzione globale e locale di un problema di Cauchy. Esempi. Formule alle differenze finite. Formule esplicite e implicite, monostep e multistep. Complessità computazionale e numero degli stadi. Implementazione di una formula alle differenze finite.

16.          Giovedì 25/11/2021, 15–18.         ore: 3(47)

Riepilogo formule alle differenze finite. Applicazione di vari metodi ad un esempio numerico. Errori nelle formule monostep. Errore globale e locale di discretizzazione. Convergenza, stabilità, consistenza e ordine. Tutti i metodi monostep sono stabili. Influenza degli errori di arrotondamento. Stima automatica del passo ottimale: formule di Runge-Kutta-Fehlberg. Uso delle routines ode23 e ode45 di Matlab.

17.          Giovedì 2/12/2021, 15–18.         ore: 3(50)

Riepilogo problemi di Cauchy, metodi alle differenze finite, convergenza, consistenza e ordine, stima adattiva del passo di integrazione. Implementazione dei metodi impliciti. Scelta del passo $h$ in modo da garantire la convergenza del metodo iterativo. Schemi predictor-corrector. Sistemi di equazioni del prim'ordine ed equazioni di ordine superiore al primo. Esempio di soluzione mediante il metodo di Eulero. Convergenza delle formule multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula a 2 passi, consistenza e ordine. Stabilità, condizione delle radici e teorema di Dahlquist. Cenni sulla A-stabilità e le equazioni stiff.

18.          Lunedì 6/12/2021, 15–18.         ore: 3(53)

Problemi differenziali con condizioni agli estremi. Definizione della discretizzazione. Costruzione, mediante sviluppo in serie di Taylor, di un'approssimazione del second'ordine delle prime due derivate. Costruzione del sistema lineare e studio della sua struttura. Condizioni sui coefficienti del problema differenziale e sul passo di integrazione che garantiscono la non singolarità e la dominanza diagonale della matrice del sistema. Esempi. Implementazione in Matlab dell'algoritmo, facendo uso degli operatori vettoriali.

19.          Giovedì 9/12/2021, 15–18.         ore: 3(56)

Equazioni a derivate parziali. Ordine. Equazioni lineari, debolmente e fortemente nonlineari. Informazioni aggiuntive per garantire l'unicità della soluzione in alcuni casi particolari. Soluzione analitica di un'equazione del primo ordine. Classificazione delle PDE del secondo ordine. Equazioni ellittiche, paraboliche e iperboliche. Esempi: equazioni di Laplace, di Poisson, del calore e delle onde. Condizioni di Dirichlet, di Neumann e miste. Metodi alle differenze finite. Equazioni ellittiche: discretizzazione di un dominio regolare. Schema a 5 punti e approssimazione delle prime due derivate mediante differenze finite. Discretizzazione dell'equazione differenziale e sistema lineare risultante.

20.          Lunedì 13/12/2021, 15–17.         ore: 2(58)

Riepilogo risoluzione di un problema ellittico mediante differenze finite. Studio di un particolare problema di piccole dimensioni. Ordinamento lessicografico delle incognite. Scrittura esplicita di alcune equazioni del sistema e deduzione della struttura della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti. Struttura del sistema lineare risultante nel caso generale. Illustrazione di un problema numerico risolto con Matlab. Condizioni che garantiscono la stretta dominanza diagonale della matrice e, conseguentemente, la sua non singolarità. Definizione di un problema modello di tipo parabolico.

21.          Giovedì 16/12/2021, 15–17.         ore: 2(60)

Riepilogo risoluzione di un problema parabolico mediante differenze finite con uno schema a 4 punti. Scrittura esplicita di alcune equazioni del sistema e deduzione della struttura della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti. Illustrazione di un problema numerico risolto con Matlab. Condizioni che garantiscono la stretta dominanza diagonale della matrice. Cenni sulla discretizzazione di un problema iperbolico con uno schema a 7 punti. Inizializzazione dello schema mediante sviluppo in serie di Taylor della soluzione al primo istante temporale. Idea alla base del metodo agli elementi finiti. Discretizzazione di un dominio irregolare e funzioni test. Cenni sulla costruzione del sistema lineare.

Totale ore: 60