REGISTRO DELLE LEZIONI DI
CALCOLO NUMERICO 2
CORSI DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA ELETTRICA
E ELETTRONICA - 6 CFU - A.A. 2010/2011
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 13. gennaio 2011

1.          Martedì 12/10/2010, 11-13.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Richiami di Algebra Lineare. Spazi di Hilbert e norme indotte. Ortogonalità e angolo tra vettori. Esempi.

2.          Giovedì 14/10/2010, 11-13.         ore: 2(4)

Norme matriciali. Costruzione della norma matriciale con indice 2. Matrici riducibili e vantaggi derivanti dalla riducibilità. Condizione necessaria e sufficiente per l'irriducibilità. Grafo associato ad una matrice.

3.          Venerdì 15/10/2010, 9-11.         ore: 2(6)

Grafi fortemente connessi e irriducibilità. Il caso delle matrici tridiagonali. Teoremi di localizzazione degli autovalori. Cerchi riga e cerchi colonna. Il primo teorema di Gershgorin e i suoi corollari. Il secondo e il terzo teorema di Gershgorin. Applicazioni. Matrici a predominanza diagonale stretta o irriducibile. Teoremi.

4.          Martedì 19/10/2010, 11-13.         ore: 2(8)

Riepilogo metodi diretti: condizionamento, algoritmo di fattorizzazione di Gauss e fattorizzazione LU, pivoting e stabilità. Equilibratura di un sistema lineare per righe e per colonne. Altre fattorizzazioni LU. Fattorizzazioni $LDU$ e $LDL^T$ per una matrice simmetrica.

5.          Giovedì 21/10/2010, 11-13.         ore: 2(10)

Inerzia di una matrice. Legge di Sylvester. Fattorizzazione di Cholesky per una matrice simmetrica definita positiva. Algoritmo e complessità. Alcuni commenti sull'algoritmo di Cholesky. Fattorizzazione QR. Confronto con la fattorizzazione LU. Invarianza del numero di condizionamento. Matrici elementari di Householder.

6.          Venerdì 22/10/2010, 9-11.         ore: 2(12)

Costruzione stabile delle matrici elementari di Householder e implementazione ottimizzata del prodotto per un vettore. Rappresentazione alternativa delle matrici elementari di Householder. Fattorizzazione QR di Householder. Analisi dei primi 3 passi. Descrizione dell'$i$-esimo passo. Algoritmo e sua complessità.

7.          Martedì 26/10/2010, 11-13.         ore: 2(14)

Applicazione della fattorizzazione QR di Householder a matrici rettangolari. Matrici elementari di Givens. Fattorizzazione QR di Givens. Applicazione ad una matrice rettangolare. Vantaggi dell'algoritmo di Givens. Cenni sugli algoritmi di ortogonalizzazione di vettori. Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati.

8.          Venerdì 29/10/2010, 9-11.         ore: 2(16)

Esercizi sulle fattorizzazioni QR di Householder e di Givens. Sistemi rettangolari. Sistemi singolari o a rango non pieno. Riformulazione di un sistema sovradeterminato come problema ai minimi quadrati. Calcolo del gradiente di alcune funzioni vettoriali.

9.          Martedì 2/11/2010, 11-13.         ore: 2(18)

Problemi ai minimi quadrati. Minimizzazione della norma-2 del residuo. Equazioni normali. Risoluzione mediante fattorizzazione di Cholesky. Matrice pseudo-inversa. Risoluzione mediante la fattorizzazione QR. Confronto tra i due metodi. Riepilogo metodi iterativi per sistemi lineari.

L1.          Giovedì 4/11/2010, 11-13.         ore: 2(18/2)

Laboratorio Introduzione a Matlab. Programmazione mediante scripts. Definizione estensiva ed intensiva di arrays. Fattorizzazioni matriciali. Sperimentazione numerica sulla risoluzione di sistemi lineari. Scrittura di una function. Costruzione di una matrice elementare di Householder.

10.          Venerdì 5/11/2010, 9-11.         ore: 2(20)

Riepilogo metodi iterativi basati su splitting additivo. Significato del precondizionamento. Condizioni sugli autovalori della matrice precondizionata. Espressione dei metodi iterativi in funzione del vettore residuo. Implementazione pratica del precondizionamento. Fattorizzazioni LU e Cholesky incomplete. Uso di precondizionatori fattorizzati. Cenni sul precondizionatore ottimale di Chan. Metodi di rilassamento. Metodi di Richardson.

11.          Martedì 9/11/2010, 11-13.         ore: 2(22)

Metodi ``di discesa''. Determinazione del passo ottimale. Il metodo del gradiente. Calcolo del residuo. Algoritmo. Precondizionamento. Ottimalità di un punto rispetto ad una direzione. Criterio per rilevare l'ottimalità di un punto rispetto ad una direzione. Direzioni A-coniugate.

12.          Giovedì 11/11/2010, 11-13.         ore: 2(24)

Costruzione di direzioni A-coniugate. Il metodo del gradiente coniugato. Cenni sul precondizionamento. Applicazione alle equazioni normali. Metodi basati su iterazioni in sottospazi di Krylov. Il gradiente coniugato come metodo di Krylov. Cenni sul metodo GMRES. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili e unitariamente diagonalizzabili. Diagonalizzabilità ed indipendenza degli autovettori. Fattorizzazione spettrale.

13.          Venerdì 12/11/2010, 9-11.         ore: 2(26)

Teorema di Schur. Teorema spettrale. Matrici normali. Sottoproblemi agli autovalori. Teorema di Bauer-Fike. Il caso delle matrici Hermitiane. Il metodo delle potenze. Ipotesi di convergenza e loro rilassamento. Normalizzazione. Criteri di stop.

14.          Martedì 16/11/2010, 11-13.         ore: 2(28)

Algoritmo del metodo delle potenze. Metodo delle potenze inverse. Raffinamento di una stima di un autovalore. Determinazione dell'autovettore corrispondente ad un autovalore noto. Algoritmo QR. Conservazione dello spettro e della simmetria. Fattorizzazioni spettrale e di Schur. Considerazioni sulla convergenza del metodo. Cenni sul passaggio in forma di Hessenberg. Introduzione alle equazioni non lineari.

L2.          Giovedì 18/11/2010, 11-13.         ore: 2(28/4)

Laboratorio Sperimentazione numerica sui metodi iterativi per i sistemi lineari e sul calcolo degli autovalori. Uso delle matrici sparse in Matlab, e di alcune funzioni ad esse dedicate. Istruzioni grafiche di base.

15.          Venerdì 19/11/2010, 9-11.         ore: 2(30)

Equazioni non lineari. Convergenza e ordine di un metodo. Serie di Taylor. Caratterizzazione algebrica ed analitica delle radici semplici e multiple. Condizionamento di una radice semplice e di una doppia. Calcolo degli zeri di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo di bisezione. Algoritmo e studio della convergenza.

16.          Giovedì 25/11/2010, 11-13.         ore: 2(32)

Il metodo di Newton. Costruzione geometrica ed analitica. Studio della convergenza e dell'ordine. Metodi quasi-Newton: corde e secanti. Iterazioni di punto fisso. Interpretazione geometrica.

17.          Venerdì 26/11/2010, 9-11.         ore: 2(34)

Contrattività. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione perché il metodo sia del second'ordine. Esempi. Sistemi di equazioni non lineari. Il metodo di Newton multidimensionale. I metodi delle corde, di Newton-Jacobi e di Newton-Gauss-Seidel.

18.          Martedì 30/11/2010, 11-13.         ore: 2(36)

Funzioni totalmente differenziabili. Punti di attrazione. Teorema di Ostrowski. Ordine di convergenza del metodo di Newton multidimensionale. Introduzione all'interpolazione ed all'approssimazione di funzioni. Interpolazione nel caso generale. Determinante di Haar ed unisolvenza. I teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità del polinomio interpolante. Problemi connessi alla rappresentazione del polinomio interpolante mediante la base canonica.

19.          Giovedì 2/12/2010, 11-13.         ore: 2(38)

Polinomi caratteristici e polinomio interpolante di Lagrange. Esempi. Errore di interpolazione. Dimostrazione del teorema sull'errore di interpolazione. Alcuni risultati sulla convergenza. Nodi di Chebyshev.

20.          Venerdì 3/12/2010, 9-11.         ore: 2(40)

Confronto dell'errore di interpolazione con quello di migliore approssimazione. Funzioni e costanti di Lebesgue. Crescita ottimale. Confronto dei nodi equispaziati con quelli di Chebyshev. Condizionamento della rappresentazione di Lagrange. La formula di Neville e lo schema per il calcolo del polinomio interpolante in un punto. Aggiunta di un punto di interpolazione. Differenze divise e schema per il loro calcolo.

21.          Martedì 7/12/2010, 11-13.         ore: 2(42)

Il polinomio interpolante nella forma di Newton. Rappresentazione dell'errore di interpolazione mediante le differenze divise. Migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Il caso discreto: formulazione e risoluzione del sistema lineare sovradeterminato associato al problema. Migliore approssimazione in uno spazio di Hilbert. Proprietà di ortogonalità che caratterizza la soluzione.

22.          Giovedì 9/12/2010, 11-13.         ore: 2(44)

Sistema delle equazioni normali. Il caso dei polinomi algebrici e trigonometrici. Cenni sulle funzioni spline. Formule di quadratura. Precisione algebrica. Metodo dei coefficienti indeterminati. Quadratura interpolatoria.

23.          Venerdì 10/12/2010, 9-11.         ore: 2(46)

Formule di Newton-Cotes aperte e chiuse. Le formule dei trapezi, dei rettangoli e di Simpson. Formule elementari e composte. Formule di Newton-Cotes con $n$ pari. Errore di quadratura. Il caso della formula dei trapezi.

24.          Martedì 14/12/2010, 11-13.         ore: 2(48)

Funzioni peso ed integrali con singolarità. Integrali su intervalli infiniti e integrali di funzioni rapidamente oscillanti. Polinomi ortogonali rispetto ad un prodotto scalare pesato. Polinomi ortogonali e formula ricorsiva a tre termini. Principali proprietà dei polinomi ortogonali. Formule di quadratura Gaussiane. Calcolo dei pesi. Precisione algebrica ottimale. Calcolo degli zeri dei polinomi ortogonali. Alcune famiglie di polinomi ortogonali.

25.          Giovedì 16/12/2010, 11-13.         ore: 2(50)

Errore nelle formule Gaussiane. Differenze finite e formule di quadratura. Errori di discretizzazione e di arrotondamento. Stima automatica del passo di integrazione: le formule di Runge-Kutta-Fehlberg.

26.          Venerdì 17/12/2010, 9-11.         ore: 2(52)

Impiego di metodi impliciti. Condizione sul passo di integrazione che assicura la convergenza dell'iterazione. Metodi predictor-corrector. Sistemi di equazioni differenziali. Formulazione multidimensionale del problema di Cauchy. Lipschitzianità. Equazioni di ordine superiore al primo. Applicazione di una formula alle differenze finte ad un sistema. Costruzione di formule multistep. Le formule di Adams, di Nystrom e di Milne.

27.          Martedì 21/12/2010, 11-13.         ore: 2(54)

Formulazione generale dei metodi multistep. Consistenza di un metodo numerico. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Esempi. Condizioni sui coefficienti dei polinomi caratteristici della formula che garantiscono ordine $p$. Condizione delle radici. Il teorema di Dahlquist.

28.          Martedì 11/1/2011, 11-13.         ore: 2(56)

Zero-stabilità di una formula alle differenze finite. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. Cenni sulla soluzione di un'equazione alle differenze. Analisi di un particolare sistema di equazioni differenziali lineari stiff. A-stabilità. Seconda barriera di Dahlquist.

L3.          Giovedì 13/1/2011, 11-13.         ore: 2(56/6)

Laboratorio Funzioni inline e puntatori a funzioni. Costruzione di comandi mediante stringhe e loro esecuzione. Function-functions. Risoluzione di equazioni non lineari e di equazioni differenziali. Rappresentazione di superfici. Cenni sul sistema handle graphics.

Totale ore: 56 (lezione), 6 (laboratorio)