REGISTRO DELLE LEZIONI DI
ANALISI E TRATTAMENTO DI DATI SPERIMENTALI
DOTTORATO IN INGEGNERIA DEL TERRITORIO - A.A. 2009/2010
DOCENTI: PROFF. GIAN PIERO DEIDDA E GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 22. luglio 2010

1.          Lunedì 12/7/2010, 9-11.         ore: 2(2)

Introduzione ai problemi inversi: parametrizzazione del sistema, modellizzazione diretta e modellizzazione inversa. Esempio: tomografia sismica. Modello vero e modello stimato; valutazione della ``bontà'' della stima: risoluzione e propagazione degli errori. Problemi inversi lineari sovradeterminati e sottodeterminati: soluzione ai minimi quadrati e con la norma del modello minima (il rasoio di Occam). Esempi: regressione lineare, tomografia sismica lineare.

2.          Lunedì 12/7/2010, 11-13.         ore: 2(4)

Richiami sui sistemi lineari. Soluzione classica e nel senso dei minimi quadrati. Numero di condizionamento e propagazione degli errori. Metodi diretti per sistemi lineari. Fattorizzazioni LU e QR: utilizzazione e confronto tra le due tecniche di risoluzione. Risoluzione di sistemi lineari malcondizionati e necessità dello sfruttamento di informazioni a priori. Esempi di calcolo su Matlab.

3.          Martedì 13/7/2010, 9-11.         ore: 2(6)

Problemi inversi lineari di tipo misto (parzialmente sovradeterminati e parzialmente sottoderminati) e soluzione ai minimi quadrati smorzati. Tecniche per la determinazione del fattore di smorzamento. Valutazione della ``bontà'' della stima: matrice di risoluzione del modello, matrice di risoluzione dei dati e matrice di covarianza del modello. Esempio di tomografia sismica.

4.          Martedì 13/7/2010, 11-13.         ore: 2(8)

Equazioni integrali di Fredholm di prima specie. Discretizzazione di equazioni integrali col metodo di collocazione e col metodo di Galerkin. Sistema singolare di una matrice e fattorizzazione SVD. Proprietà di base. Esempi di calcolo su Matlab.

5.          Mercoledì 14/7/2010, 9-11.         ore: 2(10)

Rappresentazione della soluzione di un sistema mediante valori e vettori singolari. Effetto sulla soluzione degli errori presenti nel termine noto. La SVD troncata come metodo di regolarizzazione. Cenni su altri metodi di regolarizzazione: il metodo di Tikhonov e i metodi iterativi. Necessità di una scelta accurata del parametro di regolarizzazione. Esempi di calcolo su Matlab.

6.          Mercoledì 14/7/2010, 11-13.         ore: 2(12)

Applicazione della SVD alla soluzione dei problemi inversi lineari. Corrispondenza tra le soluzioni con SVD e con l'inversa generalizzata. Immagine e spazio nullo di una trasformazione lineare. Spazio nullo dello spazio vettoriale del modello (problemi sottoderminati) e spazio nullo dello spazio vettoriale dei dati (problemi sovradeterminati). Valori singolari piccoli e trasferimento degli errori dai dati al modello. Soluzione dei problemi inversi lineari con alcuni metodi iterativi: algoritmo di Kaczmarz, algoritmo ART (algebraic reconstruction technique) e algoritmo SIRT (simultaneous iterative reconstruction technique). Esempi applicati alla tomografia sismica.

7.          Giovedì 15/7/2010, 9-11.         ore: 2(14)

Un problema di image deblurring risolto con un metodo iterativo. Metodi di scelta del parametro di regolarizzazione: principio di discrepanza di Morozov, generalized cross validation (GCV), curva-L. Richiami di analisi di Fourier. Serie di Fourier: forma reale e forma complessa. Espressione dei coefficienti. Proprietà di approssimazione della serie di Fourier troncata: interpolazione e minimi quadrati. La trasformata e l'antitrasformata di Fourier. La trasformata di Fourier come generalizzazione della serie. Esempi di calcolo su Matlab.

8.          Giovedì 15/7/2010, 11-13.         ore: 2(16)

Serie e trasformate di Fourier. Calcolo di alcune trasformate 1D e 2D: funzione rettangolare 1D, funzione impulso (di Dirac), funzione seno, funzione rettangolare 2D. Elenco di alcuni teoremi importanti per l'analisi spettrale dei dati. Distorsione degli spettri dovuta all'osservazione limitata (nel tempo e nello spazio) di un segnale. Campionamento dei segnali. Funzione di campionamento (Comb function) e sua trasformata di Fourier. Segnali campionati e spettro periodico. Fenomeni di aliasing e folding: esempi con Matlab. Teorema del campionamento (Nyquist-Shannon).

9.          Venerdì 16/7/2010, 9-11.         ore: 2(18)

La trasformata discreta di Fourier (DFT) e la sua inversa. Interpretazione matriciale. Definizione alternativa. La formula dei trapezi. Calcolo dei coefficienti e della serie di Fourier mediante la DFT. Cenni sul calcolo della trasformata di Fourier. Esempi di calcolo su Matlab.

10.          Venerdì 16/7/2010, 11-13.         ore: 2(20)

DFT e IDFT. Proprietà: periodicità, simmetria, traslazione temporale (o spaziale) e variazione dello spettro di fase. Problemi: tempo di osservazione limitato, risoluzione temporale e risoluzione spettrale (esempio con Matlab, e tecnica dello zero-padding), leakage spettrale (ed uso delle finestre non rettangolari come Hanning, Hamming, Blackman,...). DFT e IDFT in 2D: esempio della funzione rettangolare 2D. Convoluzione di segnali discreti: convoluzione lineare e convoluzione circolare. Corrispondenza tra convoluzione circolare e moltiplicazione delle DFT.

Totale ore: 20