SEMINARI AVANZATI DI MATEMATICA APPLICATA
ALGEBRA LINEARE NUMERICA
2 CFU - A.A. 2012/2013
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 30. aprile 2013

1.          Lunedì 11/3/2013, 17-19.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Aritmetica di macchina. Memorizzazione di un numero reale. Standard IEEE 754. Operazioni di macchina. Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche. Cancellazione. Rappresentazione a blocchi del prodotto matrice vettore. Esempi.

2.          Giovedì 14/3/2013, 8-10.         ore: 2(4)

Varie rappresentazioni del prodotto matriciale. Applicazione: algoritmo di Gauss e fattorizzazione LU. Trasformazioni lineari e matrici. Nucleo e immagine. Teorema della nullità più rango. Esempio su una matrice in row echelon form. Applicazioni della fattorizzazione LU: risoluzione di un sistema lineare, calcolo del determinante e calcolo della matrice inversa.

3.          Lunedì 18/3/2013, 17-19.         ore: 2(6)

Fattorizzazione $R^TR$ e algoritmo di Cholesky. Fattorizzazione spettrale. Matrici diagonalizzabili e unitariamente diagonalizzabili. Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati. Cenni sulle loro applicazioni. Problemi di migliore approssimazione. Risoluzione di un sistema sovradeterminato nel senso dei minimi quadrati e suo significato statistico.

4.          Giovedì 21/3/2013, 8-10.         ore: 2(8)

Approssimazione polinomiale di dati sperimentali affetti da errore: formulazione come problema ai minimi quadrati. Calcolo del gradiente di alcune funzioni espresse in forma matriciale. Risoluzione di un sistema sovradeterminato nel senso dei minimi quadrati: equazioni normali.

5.          Lunedì 25/3/2013, 17-19.         ore: 2(10)

Introduzione a Matlab. Dichiarazione di matrici. Operatori matriciali e vettoriali. Programmazione mediante scripts. Grafici di funzioni. Calcolo matriciale. Risoluzione di sistemi lineari in senso classico e dei minimi quadrati.

6.          Giovedì 4/4/2013, 8-10.         ore: 2(12)

Equazioni normali e matrice pseudoinversa. Fattorizzazione QR: risoluzione di un sistema lineare, vantaggi in termini di condizionamento. Algoritmo di Gram-Schmidt classico. Matrici elementari di Householder: algoritmo ottimizzato per la loro costruzione.

7.          Lunedì 8/4/2013, 17-19.         ore: 2(14)

Costruzione di matrici elementari di Householder in Matlab. Algoritmo di Householder di fattorizzazione QR. Appicazione a matrici quadrate e rettangolari. Cenni sull'algoritmo di Givens. Risoluzione di un sistema lineare nel senso dei minimi quadrati mediante fattorizzazione QR. Polinomio di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati: costruzione in Matlab.

8.          Giovedì 11/4/2013, 8-10.         ore: 2(16)

Cenni sul calcolo di autovalori e autovettori. Teorema di Bauer-Fike sulla stabilità. Casi in cui si verifica instabilità. Metodo delle potenze e algoritmo QR. Vettori e valori singolari. Legami con i problemi agli autovalori. Fattorizzazione SVD. Rango di una matrice. Cenni sull'algoritmo per il calcolo della SVD.

9.          Lunedì 15/4/2013, 16-18.         ore: 2(18)

Sensitività nel calcolo dei valori singolari. Espressione della soluzione di un sistema lineare mediante la SVD. Pseudoinverse di matrici diagonali e di matrici qualsiasi. Espressione della soluzione di un problema ai minimi quadrati mediante la SVD. Basi per l'immagine e il nucleo di una matrice. La TSVD come metodo di regolarizzazione: giustificazione ed esempi.

10.          Giovedì 18/4/2013, 8-10.         ore: 2(20)

Riepilogo SVD e TSVD. Approssimazione di rango $k$ di una matrice. Metodo di regolarizzazione di Tikhonov. Risoluzione mediante SVD. Metodi per la determinazione del parametro di regolarizzazione: GCV, curva-L, stime dell'errore.

Totale ore: 20