SEMINARI AVANZATI DI MATEMATICA APPLICATA
ALGEBRA LINEARE NUMERICA
2 CFU - A.A. 2013/2014
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 17. aprile 2014

1.          Giovedì 13/3/2013, 9-11.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Aritmetica di macchina. Memorizzazione di un numero reale. Standard IEEE 754. Operazioni di macchina. Condizionamento di un problema. Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche. Cancellazione. Propagazione nelle formule ricorsive. Esempi.

2.          Venerdì 14/3/2013, 11-13.         ore: 2(4)

Varie rappresentazioni del prodotto matriciale. Prodotto a blocchi. Calcolo matriciale su Matlab. Combinazioni lineari. Forme quadratiche. Decomposizione di una matrice in somma di matrici di rango 1. Prodotti di Schur e Kronecker. Applicazioni: calcolo dell'inversa, matrici ortogonali, fattorizzazione spettrale, approssimazioni a rango basso.

3.          Giovedì 20/3/2013, 9-11.         ore: 2(6)

Algoritmo di Gauss con pivoting parziale e fattorizzazione $PA=LU$. Risoluzione di sistemi lineari e calcolo del determinante. Stabilità e condizionamento. Fattorizzazione di Cholesky per matrici simmetriche definite positive. Complessità. Fattorizzazione QR. Conservazione del numero di condizionamento. Algoritmo di Gram-Schmidt.

4.          Venerdì 21/3/2013, 11-13.         ore: 2(8)

Proprietà della fattorizzazione QR. Costruzione delle matrici elementari di Householder. Fattorizzazione QR di Householder. Matrici elementari di Givens. Cenni sulla fattorizzazione QR di Givens. Fattorizzazione di matrici rettangolari.

5.          Giovedì 27/3/2013, 9-11.         ore: 2(10)

Sistemi lineari quadrati, sovradeterminati e sottodeterminati. Problemi a rango non pieno. Soluzione nel senso dei minimi quadrati. Esempi: regressione polinomiale ed equazioni integrali. Sistema delle equazioni normali e sua risoluzione. Matrice pseudoinversa. Condizionamento del problema. Soluzione mediante fattorizzazione QR. Sistemi sovra e sottodeterminati con matrice diagonale.

6.          Venerdì 28/3/2013, 11-13.         ore: 2(12)

Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati. Teorema che caratterizza la soluzione. Equazioni normali. Applicazioni: problema dei momenti e coefficienti di Fourier. Importanza delle funzioni ortogonali. Decomposizione ai valori singolari. Vettori singolari. Connessione al problema agli autovalori. Approssimazioni a rango basso. Cenni sulla principal component analysis.

7.          Giovedì 3/4/2013, 9-11.         ore: 2(14)

Introduzione all'integrazione numerica. Grado di precisione/esattezza e convergenza di formule di quadratura. Teorema di Szëgo. Metodo dei coefficienti indeterminati. Formule di quadratura di tipo interpolatorio. Formule elementari di Newton-Cotes: formula dei rettangoli, trapezi e di Simpson. Stime dell'errore teorico. Formule composite di Newton-Cotes: formula dei trapezi e formula di Simpson. Stime dell'errore teorico.

8.          Venerdì 4/4/2013, 11-13.         ore: 2(16)

Formule di quadrtura di tipo interpolatorie pesate. Formule Gaussiane: formula di Gauss-Legendre, Gauss-Chebychev e Gauss-Jacoby. Equazioni integrali. Classificazione. Metodo di Nyström e metodo di proiezione per equazioni integrali di Fredholm di seconda specie su intervalli limitati.

9.          Giovedì 17/4/2013, 9-11.         ore: 2(18)

Riepilogo SVD. Basi per il nucleo e l'immagine di una trasformazione lineare. SVD compatta. Proprietà di stabilità per la SVD e confronto con autovalori e autovettori. Soluzione ai minimi quadrati e soluzione normale. Ipotesi presenti nei problemi malcondizionati. Regolarizzazione mediante TSVD. Cenni su altri metodi di regolarizzazione: Tikhonov e metodi iterativi.

10.          Giovedì 17/4/2013, 11-13.         ore: 2(20)

Laboratorio Matlab. Discretizzazione di un'equazione integrale mediante proiezione. Calcolo dei dati mediante quadratura numerica. Aggiunta di noise. Soluzione ai minimi quadrati e mediante TSVD. Confronto con la soluzione esatta. Scelta del parametro di regolarizzazione: discrepanza, curva-L, generalized cross validation (GCV).

Totale ore: 20