REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA ED ELETTRONICA
6
CFU - A.A. 2017/2018
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO:
21. dicembre 2017

1.          Lunedì 25/09/2017, 9-11.         ore: 2(2)

Introduzione al corso: problemi ben posti. Esempi di problemi mal posti. Numero di condizionamento. Algoritmi.

2.          Giovedì 28/09/2017, 9-11.         ore: 2(4)

Algoritmi: stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Spazi vettoriali. Esempi. Lo spazio $ L^2[a,b]$. Sottospazi. Combinazioni lineari e sottospazio generato da $ k$ vettori. Indipendenza lineare. Basi e dimensione.

3.          Venerdì 29/09/2017, 11-13.         ore: 2(6)

Riepilogo basi e dimensione. Spazi a dimensione infinita. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $ \infty$. Principali norme utilizzate per le funzioni. Norme equivalenti. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert.

4.          Lunedì 2/10/2017, 9-11.         ore: 2(8)

Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di $ {\mathbb{R}}^n$ e di $ L^2[a,b]$. Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi sul metodo di Gram-Schmidt.

5.          Giovedì 5/10/2017, 9-11.         ore: 2(10)

Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di $ {\mathbb{R}}^n$ e con la norma 2. Esempi. Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango.

6.          Venerdì 6/10/2017, 11-13.         ore: 2(12)

Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Calcolo degli autovettori. Matrici difettive. Esercizi sugli autovalori. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per periodicità.

7.          Lunedì 9/10/2017, 9-11.         ore: 2(14)

Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari. Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Approssimazione di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale.

8.          Giovedì 12/10/2017, 9-11.         ore: 2(16)

Coefficienti di Fourier. Migliore approssimazione nel senso della minima energia e coefficienti di Fourier. Energia di un segnale e di un polinomio trigonometrico. Formula di Parseval. Diseguaglianza di Bessel. Serie di Fourier. Serie di Fourier associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro $ \omega$. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla convergenza.

9.          Venerdì 13/10/2017, 11-13.         ore: 2(18)

Matrici ortogonali. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esempi.

10.          Lunedì 16/10/2017, 9-11.         ore: 2(20)

Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier. Motivazione del calcolo di derivate e integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Serie di Fourier in forma armonica. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa.

11.          Giovedì 19/10/2017, 9-11.         ore: 2(22)

Riepilogo forma complessa della serie di Fourier. Forma dei coefficienti per funzioni pari o dispari. Esempi. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. Esempi. Introduzione alla trasformata di Fourier. Serie di Fourier su intervalli di ampiezza crescente. Trasformata di Fourier e trasformata inversa.

12.          Venerdì 20/10/2017, 11-13.         ore: 2(24)

Riepilogo trasformata di Fourier e trasformata inversa. Funzione di Heaviside. Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso a decadimento esponenziale, impulso pari, impulso dispari e onda quadra. Funzione $ {\mathrm{sinc}}$. Delta di Dirac e sua trasformata. Trasformata della Gaussiana. Esempi.

13.          Lunedì 23/10/2017, 9-11.         ore: 2(26)

Proprietà della trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario e delle frequenze. Variazione di scala. Simmetria (trasformata di una trasformata). Esempi.

14.          Giovedì 26/10/2017, 9-11.         ore: 2(28)

Esercizi sulla proprietà di simmetria. Modulazione. Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Esempi. Convoluzione. Commutatività.

15.          Venerdì 27/10/2017, 11-13.         ore: 2(30)

Convoluzione. La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Proprietà della funzione delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esempi.

16.          Venerdì 3/11/2017, 11-13.         ore: 2(32)

Esercizi di riepilogo in preparazione alla prova parziale.

17.          Lunedì 6/11/2017, 9-11.         ore: 2(34)

Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, definite positive, ortogonali e loro proprietà. Matrici triangolari e diagonali e loro proprietà. Cenni sulle matrici a banda e sulle matrici sparse. Esempi.

18.          Giovedì 9/11/2017, 9-11.         ore: 2(36)

Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali e proprietà. Applicazioni numeriche delle serie di Fourier.

19.          Venerdì 10/11/2017, 11-13.         ore: 2(38)

Espressione della norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice $ \infty$. Norme matriciali indotte dalle norme vettoriali con indice 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Esempi. Norma della matrice identità. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Esercizi di riepilogo.

20.          Lunedì 20/11/2017, 9-11.         ore: 2(40)

Generalità sui sistemi lineari. Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Numero di condizionamento nel caso generale. Proprietà del numero di condizionamento. Esempi numerici relativi al problema del condizionamento. Sistemi lineari diagonali e ortogonali: algoritmo di risoluzione, complessità e condizionamento.

21.          Giovedì 23/11/2017, 9-11.         ore: 2(42)

Analisi della complessità per sistemi ortogonali. Risoluzione di un sistema triangolare inferiore o superiore. Algoritmo e complessità. Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Triangolarizzazione di un sistema lineare.

22.          Venerdì 24/11/2017, 11-13.         ore: 2(44)

Applicazione dell'algoritmo di Gauss in forma tabellare. Analisi del primo e del secondo passo dell'algoritmo di Gauss. Analisi del generico passo $ k$. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo.

23.          Lunedì 27/11/2017, 9-11.         ore: 2(46)

Algoritmo di Gauss. Complessità ed occupazione di memoria. Pivoting parziale: motivazione ed implementazione. Rilevalemento della singolarità della matrice. Pivoting totale. Algoritmo di Gauss con pivoting. Esempi.

24.          Giovedì 30/11/2017, 9-11.         ore: 2(48)

Riepilogo algoritmo di Gauss. Fattorizzazione LU. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del determinante e dell'inversa. Pivoting Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione $ PA=LU$. Costruzione pratica della fattorizzazione $ PA=LU$ mediante l'algoritmo di Gauss con pivoting. Applicazioni: soluzione di sistemi lineari, calcolo del determinante e della matrice inversa. Esempi.

25.          Venerdì 1/12/2017, 11-13.         ore: 2(50)

Crescita del condizionamento nell'algoritmo di Gauss. Teorema di Wilkinson sulla stabilità dell'algoritmo di Gauss. Introduzione ai metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari. Vantaggi dei metodi iterativi rispetto ai metodi diretti. Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Metodi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione sul vettore di iterazione per la consistenza del metodo. Espressione dell'errore al passo $ k$ in funzione dell'errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza.

26.          Lunedì 4/12/2017, 9-11.         ore: 2(52)

Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. Il metodo di Jacobi. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Espressione matriciale dei due metodi ed espressione in componenti. Parallelizzabilità. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, residuo relativo. Esercizi sui metodi iterativi.

27.          Giovedì 7/12/2017, 9-11.         ore: 2(54)

Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy. Formulazione del problema ed interpretazione geometrica e fisica. Lipschitzianità e relazione con la continuità e con la derivabilità. Lipschitzianità globale e locale. Esistenza ed unicità della soluzione. Esempi. Formule alle differenze finite. La formula di Eulero-Cauchy.

28.          Lunedì 11/12/2017, 9-11.         ore: 2(56)

La formula di Eulero-Cauchy e la formula implicita di Eulero. Formule esplicite ed implicite. Formula del punto medio. Formule monostep e multistep. Difficoltà insite nell'uso delle formule implicite e di quelle multistep. Formula di Crank-Nicolson. Complessità e numero degli stadi. La formula di Heun e la formula di Eulero modificata. Esercizi. Sistemi di equazioni differenziali.

29.          Giovedì 14/12/2017, 9-11.         ore: 2(58)

Sistemi di equazioni differenziali del prim'ordine. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Applicazione della formula di Eulero al sistema risultante da un problema del second'ordine. Formule di Runge-Kutta. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. I metodi monostep sono stabili. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine.

30.          Venerdì 15/12/2017, 11-13.         ore: 2(60)

Riepilogo errori di discretizzazione. Formula per il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell'errore locale di discretizzazione. Barriera di Butcher. Metodi di Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Influenza degli errori di arrotondamento.

31.          Lunedì 18/12/2017, 9-11.         ore: 2(62)

Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Verifica dell'ordine per alcune formule a due passi. Definizione di zero-stabilità. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. Esempi.

32.          Giovedì 21/12/2017, 9-11.         ore: 2(64)

Esercizi di riepilogo.

Totale ore: 64



Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it