REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA ED ELETTRONICA
6
CFU - A.A. 2018/2019
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO:
17. dicembre 2018

1.          Giovedì 27/09/2018, 9-11.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti. Numero di condizionamento. Algoritmi.

2.          Venerdì 28/09/2018, 11-13.         ore: 2(4)

Esempi di problemi mal posti. Algoritmi: stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Spazi vettoriali. Esempi. Lo spazio $ L^2[a,b]$. Sottospazi. Combinazioni lineari.

3.          Lunedì 1/10/2018, 15-17.         ore: 2(6)

Sottospazio generato da $ k$ vettori. Indipendenza lineare. Basi e dimensione. Spazi a dimensione infinita. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $ \infty$. Principali norme utilizzate per le funzioni. Norme equivalenti. Normalizzazione. Convergenza di successioni di vettori.

4.          Giovedì 4/10/2018, 9-11.         ore: 2(8)

Successioni di Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di $ {\mathbb{R}}^n$ e di $ L^2[a,b]$. Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi sul metodo di Gram-Schmidt.

5.          Venerdì 5/10/2018, 11-13.         ore: 2(10)

Esercizi sul metodo di Gram-Schmidt. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di $ {\mathbb{R}}^n$ e con la norma 2. Esempi.

6.          Lunedì 8/10/2018, 17-19.         ore: 2(12)

Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Calcolo degli autovettori. Esercizi sugli autovalori.

7.          Venerdì 12/10/2018, 11-13.         ore: 2(14)

Rango di una matrice. Matrici ortogonali. Cenni sulle matrici difettive. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari.

8.          Lunedì 15/10/2018, 17-19.         ore: 2(16)

Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Approssimazione di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale. Coefficienti di Fourier. Migliore approssimazione nel senso della minima energia e coefficienti di Fourier. Energia di un segnale e di un polinomio trigonometrico. Formula di Parseval. Diseguaglianza di Bessel. Serie di Fourier associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro $ \omega$. Calcolo delle serie di Fourier di una funzione e commenti sulla convergenza.

9.          Mercoledì 17/10/2018, 17-19.         ore: 2(18)

Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla convergenza. Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier.

10.          Venerdì 19/10/2018, 9-11.         ore: 2(20)

Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esempi. Serie di Fourier in forma armonica. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa. Esempi.

11.          Lunedì 22/10/2018, 17-19.         ore: 2(22)

Motivazione del calcolo di derivate e integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. Esempi. Introduzione alla trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e trasformata inversa. Funzione di Heaviside. Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso troncato a decadimento esponenziale.

12.          Giovedì 25/10/2018, 9-11.         ore: 2(24)

Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso esponenziale pari e dispari, onda quadra. Funzione $ {\mathrm{sinc}}$. Delta di Dirac e sua trasformata. Trasformata della Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario. Esempi.

13.          Venerdì 26/10/2018, 11-13.         ore: 2(26)

Traslazione nello spazio delle frequenze. Variazione di scala. Simmetria (trasformata di una trasformata). Modulazione. Esempi.

14.          Lunedì 29/10/2018, 17-19.         ore: 2(28)

Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Convoluzione. Commutatività. La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Esempi.

15.          Venerdì 2/11/2018, 11-13.         ore: 2(30)

Proprietà della delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esempi. Esercizi di riepilogo.

16.          Lunedì 5/11/2018, 17-19.         ore: 2(32)

Serie di Fourier su intervalli di ampiezza crescente. Passaggio al limite e definizione della trasformata di Fourier e della trasformata inversa. Esercizi di riepilogo in preparazione alla prova parziale.

17.          Giovedì 8/11/2018, 9-11.         ore: 2(34)

Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, definite positive, ortogonali e loro proprietà. Matrici triangolari e diagonali e loro proprietà. Esempi.

18.          Venerdì 9/11/2018, 11-13.         ore: 2(36)

Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali e proprietà. Espressione della norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice $ \infty$. Norme matriciali indotte dalle norme vettoriali con indice 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Norma della matrice identità. Esempi.

19.          Lunedì 19/11/2018, 17-19.         ore: 2(38)

Riepilogo su matrici strutturate e norme matriciali. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Esempi. Generalità sui sistemi lineari. Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti.

20.          Giovedì 22/11/2018, 9-11.         ore: 2(40)

Riepilogo sul condizionamento. Numero di condizionamento nel caso generale. Proprietà del numero di condizionamento. Sistemi lineari diagonali, ortogonali e triangolari inferiori: algoritmo di risoluzione, complessità e condizionamento.

21.          Venerdì 23/11/2018, 11-13.         ore: 2(42)

Risoluzione di un sistema triangolare inferiore o superiore. Algoritmo e complessità. Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Triangolarizzazione di un sistema lineare. Applicazione dell'algoritmo di Gauss in forma tabellare. Analisi del primo e del secondo passo dell'algoritmo di Gauss.

22.          Lunedì 26/11/2018, 17-19.         ore: 2(44)

Analisi del generico passo $ k$ dell'algoritmo di Gauss. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo. Algoritmo di Gauss. Complessità ed occupazione di memoria. Matrici diagonalmente dominanti. Fattorizzazione LU. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del determinante.

23.          Giovedì 29/11/2018, 9-11.         ore: 2(46)

Riepilogo fattorizzazione LU. Applicazione al calcolo della matrice inversa. Pivoting parziale e totale: motivazione e implementazione. Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Rilevazione della singolarità della matrice dei coefficienti. Teorema di Wilkinson sulla stabilità dell'algoritmo di Gauss. Crescita del condizionamento.

24.          Venerdì 30/11/2018, 11-13.         ore: 2(48)

Riepilogo algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Esercizi. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione $ PA=LU$. Costruzione pratica della fattorizzazione $ PA=LU$ mediante l'algoritmo di Gauss con pivoting. Applicazioni: soluzione di sistemi lineari, calcolo del determinante e della matrice inversa. Esempi.

25.          Lunedì 3/12/2018, 17-19.         ore: 2(50)

Introduzione ai metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari. Vantaggi dei metodi iterativi rispetto ai metodi diretti. Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Metodi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione sul vettore di iterazione per la consistenza del metodo. Espressione dell'errore al passo $ k$ in funzione dell'errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo.

26.          Giovedì 6/12/2018, 9-11.         ore: 2(52)

Riepilogo sui metodi iterativi. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Espressione matriciale dei due metodi ed espressione in componenti. Parallelizzabilità. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, residuo relativo. Esercizi sui metodi iterativi.

27.          Venerdì 7/12/2018, 11-13.         ore: 2(54)

Esercizi sui metodi iterativi. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy. Formulazione del problema ed interpretazione geometrica e fisica. Lipschitzianità e relazione con la continuità e con la derivabilità. Lipschitzianità globale e locale. Esistenza ed unicità della soluzione. Esempi.

28.          Lunedì 10/12/2018, 17-19.         ore: 2(56)

Formule alle differenze finite. La formula di Eulero-Cauchy e la formula implicita di Eulero. Formule esplicite ed implicite. Formula del punto medio. Formule monostep e multistep. Difficoltà insite nell'uso delle formule implicite e di quelle multistep. Formula di Crank-Nicolson. Complessità e numero degli stadi. La formula di Heun. Esercizi.

29.          Giovedì 13/12/2018, 9-11.         ore: 2(58)

Riepilogo formule alle differenze finite. La formula di Eulero modificata. Esercizi. Sistemi di equazioni differenziali. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Applicazione della formula di Eulero al sistema risultante da un problema del second'ordine. Formule di Runge-Kutta. Errore globale, locale e di propagazione.

30.          Venerdì 14/12/2018, 11-13.         ore: 2(60)

Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. I metodi monostep sono stabili. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Formula per il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell'errore locale di discretizzazione. Barriera di Butcher. Metodi di Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Influenza degli errori di arrotondamento.

31.          Lunedì 17/12/2018, 17-19.         ore: 2(62)

Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Verifica dell'ordine per alcune formule a due passi. Definizione di zero-stabilità. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. Esempi.

Totale ore: 62



Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it