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INCISA - Inverse Problems, Networks, Computer Vision, and Imaging for Supporting Archaeology

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Matematica e Archeologia

L' Archeologia e la gestione del patrimonio culturale presentano molteplici aspetti che richiedono la risoluzione di problemi matematici. Una delle applicazioni più antiche riguarda l'uso della seriazione per l'ordinamento cronologico di siti di scavo.

Figura 1: L'ingresso della domus de janas di Corongiu a Pimentel.
Image pimentel

L' Algebra Lineare Numerica è uno strumento di uso comune nella documentazione di reperti e incisioni mediante tecniche di Computer Vision, mentre equazioni differenziali modellizzano la degradazione dei monumenti ad opera dell'inquinamento atmosferico. Più di recente, il machine learning è stato utilizzato per analizzare e classificare opere d'arte e manufatti.

Shape from shading per la documentazione

In Archeologia uno degli aspetti più significativi è la documentazione di reperti. Essi consentono di conoscere usi e costumi dei popoli antichi, permettendo di ricostruire storicamente il passato. La loro catalogazione risulta inoltre essere utile per preservare manufatti che andrebbero altrimenti persi.

Nel caso di reperti come cocci, vasi, statuine, essa è relativamente semplice, mentre per affreschi o incisioni, che non possono essere rimossi dalle loro sedi, la catalogazione classica risulta essere impossibile.

Le Domus de Janas sono un importante esempio di siti archeologici che presentano incisioni rupestri, rappresentanti la storia e la cultura del popolo sardo. Esse sono datate attorno al IV millennio a.C. e mostrano come il culto dei morti fosse un importante rituale per le popolazioni antiche.

Figura 2: Incisioni trovate nelle Domus de Janas di Corongiu, Pimentel
Image corongiu1

Al fine di documentare e preservare questi reperti, è nata la necessità di determinare un metodo che permetta di ottenere una ricostruzione digitale di essi. Si è inoltre reso necessario tentare di estrarre il disegno al tratto delle incisioni, lavoro che finora viene fatto manualmente, in modo da avere una documentazione digitale di esse.

Il Photometric Stereo è una tecnica di Computer Vision che permette di ricostruire digitalmente la superficie di un oggetto a partire da una collezione di immagini di esso. È considerata una tecnica di Shape from Shading, in quanto le immagini utilizzate contengono informazioni sulla forma e sul colore dell'oggetto.

Le assunzioni del modello sono restrittive: per ottenere il dataset la macchina fotografica è fissa, posta ad una distanza sufficientemente grande dall'oggetto e una sorgente luminosa, posta a distanza infinita, ruota attorno ad esso, in modo che ciascuna immagine sia ottenuta con una diversa direzione luminosa.

Figura 3: Acquisizione dati nel photometric stereo.
Image ps1

La superficie dell'oggetto è una superficie Lambertiana, ovvero la sua riflettanza soddisfa la legge del coseno di Lambert, cioè si ha che l'intensità riflessa è proporzionale al coseno dell'angolo tra il vettore normale alla superficie e la direzione della luce:

ρ(x, y)⋅〈n(x, y),$\displaystyle \boldsymbol\ell$〉 = $\displaystyle \mathcal {I}$(x, y).

Il coefficiente ρ, detto albedo, è una quantità che tiene conto del parziale assorbimento della luce da parte della superficie e dipende dal materiale.

Supponendo di conoscere le posizioni assunte dalla sorgente luminosa, Kozera ha dimostrato che sono necessarie due immagini per ottenere una ricostruzione dell'oggetto. Discretizzando il dominio, si ottiene una formulazione che porta alla risoluzione di un sistema del primo ordine di Hamilton-Jacobi. Questo modello però non presenta una formulazione nel caso di illuminazione sconosciuta, condizione importante nelle nostre applicazioni.

A tal fine, si utilizza un modello che suddivide il problema in due sottoproblemi: il primo determina il campo di vettori normali mediante la risoluzione di un Problema dei Minimi Quadrati, l'altro trova un'approssimazione della superficie mediante la risoluzione di un problema di Poisson.

Discretizzando il dominio del nostro problema la legge di Lambert può essere espressa come:

ρk nkT$\displaystyle \boldsymbol\ell$t = mkt,

con

\begin{indisplay}\begin{aligned} \rho_k &=\rho(x_k,y_k), \qquad \mathbf{n}_k=\ma... ...c}}({\mathcal{I}}_t(x_k,y_k)), \qquad t=1,\ldots,q. \end{aligned}\end{indisplay}

dove mt rappresenta la vettorizzazione dell'immagine t ottenuta mediante l'ordinamento lessicografico.

Definendo le matrici

\begin{indisplay}\begin{aligned} D &= {\mathrm{diag}}( \rho_1,\ldots,\rho_p ) \i... ..._1,\ldots,\mathbf{m}_q]\in{\mathbb{R}}^{p\times q}, \end{aligned}\end{indisplay}

la legge di Lambert può essere espressa nella seguente forma matriciale

D NTL = M.

Nel caso di illuminazione nota, la soluzione del problema è immediata: utilizzando infatti la Pseudoinversa di Moore-Penrose si ottiene in modo diretto il campo normale.

Questa richiesta è però molto limitante, soprattutto nella nostra applicazione. Risulta infatti impossibile, durante la raccolta di immagini, conoscere le diverse posizioni assunte dalla sorgente luminosa. Si ha quindi bisogno di un modello che permetta di ottenere un'approssimazione delle posizioni assunte dalla sorgente luminosa a partire dai dati.

Hayakawa ha determinato un metodo per stimare le posizioni della luce, dimostrando che sono necessarie almeno 6 immagini per la risoluzione del problema. Questo è basato su una Decomposizione a Valori Singolari Troncata (TSVD) della matrice dei dati M.

Dopo aver determinato il campo di vettori normali, differenziando il vettore

((ux)k,(uy)k, -1) = $\displaystyle {\frac{{\mathbf{n}_k}}{{(\mathbf{n}_k)_3}}}$

si ottiene il problema di Poisson uxx + uyy = f (x, y) che, utilizzando un Metodo alle Differenze Finite, con condizioni a contorno omogenee di Dirichlet, porta ad un'approssimazione della superficie che fornisce la forma dell'oggetto cercato.

Idealità dei dati

Durante l'applicazione del modello di Hayakawa ad alcuni dataset sperimentali abbiamo osservato che si potevano presentare due situazioni:

- non si ottiene una buona ricostruzione dell'oggetto;
- si verifica un breakdown dell'algoritmo.

Figura 4: Esempi di pessime ricostruzioni

Image corongiu8 Image corongiu1bom

Queste problematiche sono legate al fatto che alcune ipotesi del modello non sono verificate. Infatti, essendo le Domus de Janas molto piccole, risulta impossile posizionare la sorgente luminosa a distanza infinita dall'oggetto, come richiesto dal modello. Inoltre la roccia, su cui sono eseguite le incisioni, non è una superficie Lambertiana ideale.

Quello che si verifica nell'algoritmo è che la matrice che fornisce la soluzione del problema di Hayakawa, teoricamente definita positiva, per alcuni dataset risulta essere non definita positiva. In particolare, il terzo autovalore risulta negativo.

Siamo in presenza di dati non ideali, ovvero dati che non soddisfano le ipotesi del modello. Risulta necessario cercare di estrarre un sottoinsieme di immagini che soddifi le assunzioni del metodo e che fornisca la migliore ricostruzione dell'oggetto. A tal fine, sono stati individuati due indicatori numerici che permettono di ricavare un dataset ideale e sono in corso studi per migliorare la ricostruzione, mediante l'utilizzo di modelli non lineari e norme non-Euclidee. In figura alcune delle ricostruzioni ottenuti mediante l'utilizzo degli indicatori.

Figura 5: Alcune ricostruzioni di buona qualità.
Image corongiu4 Image corongiu4.1
Image cheremule6 Image cheremule6.1
Image cheremule3 Image cheremule3.1

Seriazione

Con il termine seriazione si indica un problema di ordinamento su un insieme di unità le cui connessioni sono formalizzate attraverso un grafo bipartito, cioè una rete in cui i collegamenti sono possibili solo tra nodi di gruppi diversi. Tale ordinamento può essere caratteristico dei dati o cronologico e può essere codificato attraverso una struttura ad albero chiamata PQ-tree.

Questo tema trova applicazione in archeologia nella determinazione di un ordinamento cronologico di una serie di tombe in base ai reperti trovati al loro interno. In particolare, il nostro studio si è focalizzato sull'ordinamento basato sul numero e sulla collocazione di incisioni rupestri di tipo corniforme, come quelle in Figura 6.

Figura 6: Incisioni corniformi trovate a Su Crucifissu Mannu XXI, Porto Torres
Image incisioni_corniformi

Abbiamo lavorato su tre diversi dataset ricavati dal libro “Le domus de janas decorate con motivi scolpiti”, G.Tanda: il primo che fornisce un'indicazione sul numero di incisioni per ambiente (Fig. 7), il secondo che per ciascun ambiente indica in quale superficie sono presenti le incisioni e l'ultimo che rappresenta per ogni domus il tipo di segno presente e a quale gruppo appartiene (Fig. 8).

Figura 7: I principali ambienti delle Domus de Janas
Image ambienti_domus

Figura 8: Alcuni tipi e gruppi di incisioni corniformi
Image gruppi1 Image gruppi2

La risoluzione del problema, che coinvolge la risoluzione di un problema di ottimizzazione a partire da una funzione di correlazione, viene effettuata tramite un’analisi spettrale di una particolare matrice, chiamata matrice di Laplace, ottenuta a partire dalla matrice di adiacenza del grafo. Lo studio di questo problema non è banale in quanto potrebbe essere mal posto, cioè non ammettere un’unica soluzione.

Questo può essere osservato considerando il primo dataset. In Figura 9 sono presentate la matrice di adiacenza e di similarità prima e dopo l'applicazione del metodo. Il dataset iniziale presenta un ordinamento fornito dagli archeologi, quindi le domus presentano già un primo raggruppamento.

Figura 9: Matrice di adiacenza e di similarità del dataset prima e dopo l'ordinamento
Image A_S_matrix_dataset Image A_S_matrix_solution

Possiamo osservare che i blocchi della matrice di similarità sono molto più distinti rispetto all'ordinamento iniziale, che ci porta a pensare che quello trovato dal metodo sia migliore del precedente. Alcuni elementi sembrano però non essere ordinati nel modo migliore. Questo è dovuto al fatto che il PQtree estrae una delle possibili permutazioni delle righe della matrice dei dati. Per questa tabella sono state trovate 1067 possibili permutazioni. Poiché non è possibile estrarre casualmente una permutazione tra quelle ammissibili (si può fare solo nel caso di poche permutazioni), abbiamo individuato un indicatore che permette di valutare la bontà della permutazione trovata.

Utilizzando questa idea si ottiene un metodo che induce un ordinamento dato dalla Figura 10, che risulta essere il migliore secondo l'indicatore trovato.

Figura 10: Matrice di adiacenza e di similarità della soluzione con lo slittamento ottenuto dal metodo
Image A_S_matrix_shift

Considerando le altre due tabelle, i risultati ottenuti dal metodo sono rappresentati in Figura 11, 12

Figura 11: Matrice di adiacenza e di similarità della seconda tabella prima e dopo l'applicazione del metodo
Image A_S_matrix_in_table2 Image A_S_matrix_shift_table2

Figura 12: Matrice di adiacenza e di similarità della terza tabella prima e dopo l'applicazione del metodo
Image A_S_matrix_in_table3 Image A_S_matrix_shift_table3

Reti complesse

Lo studio delle reti complesse è attualmente un argomento trainante della matematica numerica che trova applicazione anche in epidemiologia, studio di reti sociali, telecomunicazioni, genetica e ogni problema in cui un insieme di entità (nodi) siano connessi da collegamenti o relazioni (archi). Oltre alla teoria dei grafi, esso coinvolge algebra lineare numerica per problemi a larga scala, formule di quadratura Gaussiane, proprietà spettrali di matrici e operatori, etc.

Figura 13: Un grafo bipartito col corrispondente grafo non orientato associato.
\begin{figure}\begin{center} \begin{tikzpicture}[-,>=stealth',auto,node distance... ...A) edge (C); \path[red] (C) edge (D); \end{tikzpicture}\end{center} \end{figure}

Identificazione ed estrazione di glifi

Un problema di estrema rilevanza in ambito archeologico è l'identificazione automatica di glifi. Data una superficie su cui sono presenti delle incisioni si vogliono estrarre i cosiddetti glifi (disegni al tratto), isolandoli dalla superficie rocciosa, su cui sono impressi. Ad oggi questo processo, effettuato manualmente dagli archeologi, richiede una grande quantità di tempo, è soggetto ad errori umani e può danneggiare le superfici.

Figura 14: Estrazione di glifi da una superficie incisa.
Image superficie Image glifo

È perciò utile sviluppare metodi numerici che estraggano i glifi in maniera automatica ed efficiente. Questo risultato può essere ottenuto risolvendo un problema variazionale di grandi dimensioni. I problemi a larga scala rendono necessario sviluppare algoritmi computazionalmente poco costosi che siano in grado di fornire una soluzione in un tempo ragionevole, ma che al contempo siano sufficientemente accurati. Per fare questo si considerano particolari operatori, ispirati dalle derivate frazionarie, le cui proprietà spettrali permettono di effettuare i calcoli in maniera estremamente efficiente e che al contempo sono in grado di codificare una ricca quantità di informazioni.