Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{1}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(6)} + 7y^{(3)} − 8y = 0.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = π(1 + 2x)(1 + y^{2}),

scrivendo le soluzioni nella forma y = y(x). Determinare la soluzione sotto la condizione iniziale y(1) = π.

2B. Consideriamo la funzione periodica f : ℝ → ℝ di periodo T tale che f(x) = x^{2} per −T/2 ≤ x < T/2.

a. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.

b. Calcolare la sua somma per ogni x ∈ ℝ. È uniformemente convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.

c. È permessa la derivazione termine a termine? Spiegare la risposta.

3. Calcolare il minimo assoluto e il massimo assoluto della funzione

f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

nel dominio

D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x − 4)^{2} + y^{2} + (z − 3)^{2} ≤ 25}.

4. Consideriamo la funzione f : ℝ^{2} → ℝ^{2} definita da

f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (x^{2} − y^{2}, 2xy).

Per quali punti (u, v) ∈ ℝ^{2} esiste un intorno in cui si può definire la funzione inversa f^{−1}? Spiegare perchè vale il risultato.

118.06.2007. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo i programmi degli AA 2004-2007, farà l’esercizio 2B.

5. Calcolare l’area della porzione dell’iperboloide di equazione z = 2xy per (x, y) che soddisfano 0 ≤ x ≤ y ≤ x\sqrt{3} e x^{2} + y^{2} ≤ 16.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (y, z, x)

e S è la parte della frontiera del cubo [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] che non cade nel piano xy. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (−2t\sqrt{2t}, 3tsen(t), 3t cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l’esercizio 7.