\documentclass[12pt]{article}
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\pagestyle{empty}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Scritto Generale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{18.06.2007. Chi ha
sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell'AA 
2003-2004, far\`a l'esercizio 2A. Chi l'ha sostenuto secondo i 
programmi degli AA 2004-2007, far\`a l'esercizio 2B.}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^{(6)}+7y^{(3)}-8y=0.$$
\item[2A.] Calcolare la soluzione generale dell'equazione differenziale
$$y^\prime=\pi(1+2x)(1+y^2),$$
scrivendo le soluzioni nella forma $y=y(x)$. Determinare la soluzione sotto la
condizione iniziale $y(1)=\pi$.
\item[2B.] Consideriamo la funzione periodica $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ di
periodo $T$ tale che $f(x)=x^2$ per $-T/2\le x< T/2$.
\begin{itemize}
\item[a.] Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.
\item[b.] Calcolare la sua somma per ogni $x\in\mathbb{R}$. \`E uniformemente
convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.
\item[c.] \`E permessa la derivazione termine a termine? Spiegare la risposta.
\end{itemize}
\item[3.] Calcolare il minimo assoluto e il massimo assoluto della funzione
$$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$
nel dominio
$$D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:(x-4)^2+y^2+(z-3)^2\le25\}.$$
\item[4.] Consideriamo la funzione $f:\R^2\to\R^2$ definita da
\begin{equation*}
f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))=(x^2-y^2,2xy).
\end{equation*}
Per quali punti $(u,v)\in\R^2$ esiste un intorno in cui si pu\`o definire la
funzione inversa $f^{-1}$? Spiegare perch\`e vale il risultato.
\item[5.] Calcolare l'area della porzione dell'iperboloide di equazione $z=2xy$
per $(x,y)$ che soddisfano $0\le x\le y\le x\sqrt{3}$ e $x^2+y^2\le 16$.
\item[6.] Calcolare l'integrale di superficie 
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, dove 
$$\vec{\boldsymbol{F}}=(y,z,x)$$
e $S$ \`e la parte della frontiera del cubo $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]$ che
non cade nel piano $xy$. Indicare al quale versore normale corrisponde il
risultato.
\item[7.] Calcolare la lunghezza della curva
$$\varphi(t)=(-2t\sqrt{2t},3t\text{sen}(t),3t\cos(t)),\qquad 0\le t\le 2\pi.$$
\end{itemize}
\vskip 12pt

\noindent{\bf Punteggio massimo}: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli 
esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l'esercizio 7.

\end{document}
