Scritto Generale del Corso di Analisi Matematica 4^{1}

1. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y^{(6)} − y = 0.

2A. Calcolare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y′ = \frac{x^{2} + 2}{2(y + 1)}.

Anche trovare la soluzione y sotto la condizione iniziale y(0) = −1.

2B. Consideriamo la funzione periodica f : ℝ → ℝ di periodo T tale che f(x) = x^{2} per −T/2 ≤ x ≤ T/2.

a. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier.

b. Calcolare la sua somma per ogni x ∈ ℝ. È uniformemente convergente la serie di Fourier? Spiegare la risposta.

3. Calcolare il minimo (assoluto) della funzione f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} sotto il vincolo x + 2y + 3z = 6. Interpretare il risultato geometricamente.

4. Dimostrare, mediante il teorema del Dini, che la seguente equazione

F (x, y, z) = y + 2x + ln |xz| = 0

definisce una funzione z = f(x, y) di classe C^{1} in un intorno del punto (−1, 2, 1). Determinare il piano tangente alla superficie {(x, y, z) : F (x, y, z) = 0} in questo punto.

5. Calcolare l’area della porzione della superficie sferica di equazione x^{2} + y^{2} +z^{2} = 4 interna al cilindro di equazione x^{2} +y^{2} = 2y e sopra il piano xy.

124.02.2006. Chi ha sostenuto il corso di analisi matematica 3 secondo il programma dell’AA 2003-2004, farà l’esercizio 2A. Chi l’ha sostenuto secondo il programma dell’AA 2004-2005, farà l’esercizio 2B.

6. Calcolare l’integrale di superficie ∫∫_{S} (rot F⃗ , ν) dσ, dove

F⃗ = (y, 2x, 0)

e S è la porzione della superficie sferica z = \sqrt{1 − x^{2} − y^{2}} che si trova sopra il piano z = 0. Indicare al quale versore normale corrisponde il risultato.

7. Calcolare la lunghezza della curva

φ(t) = (3t, 4t, \frac{5}{2}[e^{t} − e^{−t}]) , 0 ≤ t ≤ 2.

Punteggio massimo: 5 pt. per gli esercizi 2, 4 e 6, 4 pt. per gli esercizi 1, 3 e 5, e tre pt. per l’esercizio 7.