\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[italian]{babel}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\za}{\alpha}
\newcommand{\zl}{\lambda}
\pagestyle{empty}

\begin{document}

\centerline{Secondo Parziale}
\centerline{del Corso di Analisi Matematica 4\footnote{7.06.2006}}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare il minimo e il massimo della funzione
$$f(x,y,z)=x+y+z$$
nel dominio $D=\{(x,y,z)\in\R^3:(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le36\}$. Interpretare
il risultato geometricamente. {\bf Soluzione}: Ponendo
$H(x,y,z,\zl)=x+y+z-\zl[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-36]$ risultano
\begin{align*}
&\dfrac{\partial H}{\partial x}=1-2\zl(x-1)=0,\
\dfrac{\partial H}{\partial y}=1-2\zl(y-2)=0,\\
&\dfrac{\partial H}{\partial z}=1-2\zl(z-3)=0,\\
&\dfrac{\partial H}{\partial\zl}=-(x-1)^2-(y-2)^2-(z-3)^2+36=0.
\end{align*}
Per $\zl=0$ risulterebbe $1=0$, cio\`e $\zl\neq0$. Ci\`o implica
$x=1+\frac{1}{2\zl}$, $y=2+\frac{1}{2\zl}$, $z=3+\frac{1}{2\zl}$, e dunque
$36=3\left(\frac{1}{2\zl}\right)^2$ implica $\frac{1}{2\zl}=\pm2\sqrt{3}$,
$(x,y,z)=(1\pm2\sqrt{3},2\pm2\sqrt{3},3\pm2\sqrt{3})$ con il valore della $f$
uguale a $6[1\pm\sqrt{3}]$, essendo un massimo e un minimo. I corrispondenti
piani sono tangenti alla sfera di equazione $(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=36$.
\item[2.] Determinare l'equazione del piano tangente all'iperboloide
$z=x^2-2y^2$ nel punto $(2,1,2)$. {\bf Soluzione}: Parametrizzando la superficie
tramite $\varphi:\R^2\to\R^3$, $\varphi(x,y)=(x,y,x^2-2y^2)$, otteniamo
$$\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=(1,0,2x),\quad
\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=(0,1,-4y),\quad
\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\times\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}
=(-2x,4y,1).$$
Quindi il piano tangente in $\varphi(x_0,y_0)$ ha l'equazione
$$-2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+(z-[x_0^2-2y_0^2])=0.$$
Per $x_0=2$ e $y_0=1$ risulta $-4x+4y+z+2=0$.
\item[3.] Calcolare l'area della porzione del piano $x+z=2$ all'interno del
dominio $\{(x,y,z)\in\R^3:z\ge x^2+y^2\}$. Com'\`e fatta l'intersezione del
piano e della paraboloide? {\bf Soluzione}: Sostituendo $z=2-x$ nella
disuguaglianza $z\ge x^2+y^2$ otteniamo $(x+\frac{1}{2})^2+y^2\le\frac{9}{4}$.
Quindi la superficie ha la parametrizzazione
$$\begin{cases}\varphi:D\to\R^3,\ \varphi(x,y)=(x,y,2-x),\\
D=\{(x,y)\in\R^2:(x+\frac{1}{2})^2+y^2\le\frac{9}{4}\}.\end{cases}$$
Dunque
$$\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\!=\!(1,0,-1),\
\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\!=\!(0,1,0),\
\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\times\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}
\!=\!(1,0,1),\ \left\|\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}\times
\dfrac{\partial\varphi}{\partial y}\right\|\!=\!\sqrt{2}.$$
Quindi l'area \`e uguale a $\sqrt{2}$ volte l'area del disco $D$, cio\`e
$\frac{9}{4}\pi\sqrt{2}$. L'intersezione tra il piano e la paraboloide \`e
l'elisse di equazione
$\{(x,y,z)\in\R^3:(x+\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{9}{4},\ z=2-x\}$.
\item[4.] Sia $S$ la superficie di equazione
$$z=\begin{cases}9-x^2-y^2&\text{se}\ z\ge0,\\
-\sqrt{9-x^2-y^2}&\text{se}\ z\le0.\end{cases}$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(x^3,y^3,z^3)$. Calcolare l'integrale di superficie
$\iint_S\,(\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando esplicitamente
la direzione del versore normale $\nu$. {\bf Soluzione}: Applichiamo il Teorema
della Divergenza, dove $\text{div}\vec{\boldsymbol{F}}=3(x^2+y^2+z^2)=3(r^2+z^2)$
utilizzando le coordinate cilindriche. Risulta
\begin{align*}
&\iiint_V\text{div}\vec{\boldsymbol{F}}\,dxdydz=\int_0^{2\pi}d\theta
\int_0^3 r\,dr\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{9-r^2}3(r^2+z^2)\\
&=2\pi\int_0^3 r\,dr\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{9-r^2}3(r^2+z^2)
=2\pi\int_0^3\left(3r^3[-\sqrt{9-r^2}+(9-r^2)]\right.\\
&+\left.r[-(9-r^2)^{3/2}+(9-r^2)^3]\right)dr.
\end{align*}
Sostituendo $r=3\sin\za$ risulta
\begin{align*}
&\iiint_V\text{div}\vec{\boldsymbol{F}}\,dxdydz=2\pi\int_0^{\pi/2}
\left(-729\sin^3\za\cos^2\za+2187\sin^3\za\cos^3\za\right.\\
&-\left.243\sin\za\cos^4\za+6561\sin\za\cos^7\za\right)d\za
=2\pi\left[\left(243\cos^3\za-\frac{729}{5}\cos^5\za\right)\right.\\ 
&+\left.\left(\frac{2187}{4}\sin^4\za
-\frac{2187}{6}\sin^6\za\right)+\frac{243}{5}\cos^5\za-\frac{6561}{8}\cos^8\za
\right]_{\za=0}^{\pi/2}%\\
\end{align*}
\begin{align*}
&=2\pi\left(-243+\frac{729}{5}+\frac{2187}{4}
-\frac{2187}{6}-\frac{243}{5}+\frac{6561}{8}\right)=\frac{41553}{20}\pi.
\end{align*}
\item[5.] Sia $S$ la superficie
$$\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2+z^2=4,\ z\ge-1\}.$$
Sia $\vec{\boldsymbol{F}}=(y^4,z^3,x^2)$. Calcolare l'integrale di superficie
$\iint_S\,(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma$, specificando
esplicitamente la direzione del versore normale $\nu$. {\bf Soluzione}: Invece
della $S$ si pu\`o prendere $S=\{(x,y,-1):x^2+y^2\le 3\}$ senza cambiare il 
risultato, poich\`e quest'ultimo dipende soltanto dalla frontiera $\partial S$.
Scegliendo $\nu=(0,0,1)$
e avendo $\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}}=(-3z^2,-2x,-4y^3)$, abbiamo
$$\iint_S(\text{rot}\,\vec{\boldsymbol{F}},\nu)\,d\sigma
=\iint_{\{(x,y):x^2+y^2\le3\}}\,(-4y^3)\,dx\,dy=0,$$
poich\`e $-4y^3$ \`e dispari rispetto a $y$ e non dipende da $x$, mentre il
dominio di integrazione non cambia sotto le trasformazioni $y\mapsto-y$ e
$x\mapsto-x$.
\item[6.] Consideriamo la trasformazione $f:\R^2\to\R^2$ definita da
$$f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)),\quad u=x^2-y^2,\quad v=xy.$$
Trovare tutti i punti $(u,v)\in\R^2$ che hanno un intorno $U$ in cui esiste la 
funzione inversa $f^{-1}:U\to X$ (con $X\subset\R^2$). {\bf Soluzione}: Si
calcoli prima la matrice Jacobiana
$$\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\begin{pmatrix}2x&y\\ -2y&x\end{pmatrix}$$
di determinante $2(x^2+y^2)$. Osserviamo ora che
$$u^2+4v^2=(x^2-y^2)^2+4(xy)^2=(x^2+y^2)^2.$$
Dunque il determinante si annulla sse $x=y=0$ sse $u=v=0$. Quindi per ogni punto
$(u_0,v_0)=f(x_0,y_0)$ diverso dall'origine esistono un intorno $W$ e una 
funzione $g:V\to\R^2$ tali che $g(u_0,v_0)=(x_0,y_0)$ e $f(g(u,v))=(u,v)$ per
$(u,v)\in W$. Si noti che ogni punto $(u_0,v_0)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$ ha
due controimmagini $(x_0,y_0)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$.\footnote{Ponendo
$x_0=r_0\cos\theta_0$ e $y_0=r_0\sin\theta_0$ per $r_0>0$, risultano
$r_0=\sqrt[4]{u_0^2+4v_0^2}$, $\cos 2\theta_0=u_0/\sqrt{u_0^2+4v_0^2}$
e $\sin 2\theta_0=2v_0/\sqrt{u_0^2+4v_0^2}$.}
\end{itemize}

\end{document}
