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\pagestyle{empty}

\author{}
\title{Parziale, Fond. Analisi 1, 06.12.2011}

\begin{document}
\date{}
\maketitle
\thispagestyle{empty}

\begin{quote}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
cognome\phantom{nome}&nome\phantom{nome}\phantom{nome}&matricola\\ \hline
& & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{quote}

\begin{quote}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
es.1&es.2&es.3&es.4&somma\\ \hline
8&7&7&8&30\\ \hline & & & &  \\  & & & &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{quote}

\begin{itemize}
\item[1.] Calcolare i residui della funzione meromorfa
$$f(z)=\frac{\sin(\pi z)}{z^2(z-1)^2}$$
nei poli $z=0$ e $z=1$.
\item[2.] Utilizzare l'analisi complessa per calcolare l'integrale
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}.$$
\item[3.] Utilizzare l'analisi complessa per calcolare, per $\xi\in\R$,
l'integrale
$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(\xi x)}{x^2+16}\,dx.$$
\item[4.] Utilizzare l'analisi complessa per calcolare l'integrale
$$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{13+12\sin(\theta)}.$$
\end{itemize}

\newpage

\begin{itemize}
\item[1.] {\bf SOLUZIONE}: Si ha:
\begin{align*}
\text{Res}_{z=0}\,f(z)&=\lim_{z\to0}\,zf(z)
=\lim_{z\to0}\,\frac{\sin(\pi z)}{z(z-1)^2}=\lim_{z\to0}\,\frac{\pi\cos(\pi z)}
{(z-1)^2+2z(z-1)}=\pi,\\
\text{Res}_{z=1}\,f(z)&=\lim_{z\to1}\,\frac{d}{dz}\left[(z-1)^2f(z)\right]
=\lim_{z\to1}\,\frac{\pi z\cos(\pi z)-2\sin(\pi z)}{z^3}=-\pi.
\end{align*}
\item[2.] {\bf SOLUZIONE}: Sia $C_R^+=\{Re^{i\theta}:0\le\theta\le\pi\}$ con
orientamento antiorario e $\gamma_R=[-R,R]\cup C_R^+$. Allora
\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty&\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}=2\pi i\left\{\text{Res}_{z=i}\,
f(z)+\text{Res}_{z=2i}\,f(z)\right\}\\
&=2\pi i\left\{\lim_{z\to i}\,\frac{z-i}{(z^2+1)(z^2+4)}
+\lim_{z\to2i}\,\frac{z-2i}{(z^2+1)(z^2+4)}\right\}\\
&=2\pi i\left\{\lim_{z\to i}\frac{1}{4z(z^2+\tfrac{5}{2})}
+\lim_{z\to2i}\frac{1}{4z(z^2+\tfrac{5}{2})}\right\}
=2\pi i\left[\frac{1}{6i}+\frac{1}{-12i}\right]=\frac{\pi}{6}.
\end{align*}
Dalla stima
$$|f(z)|\le\frac{1}{(R-1)(R-2)\sqrt{(R^2+1)(R^2+4)}},\qquad z\in C_R^+,\ R>2,$$
segue che l'integrale di $f(z)$ lungo $C_R^+$ tende a zero se $R\to+\infty$.
\item[3.] {\bf SOLUZIONE}: Per $\xi>0$ calcoliamo
\begin{align*}
F(\xi)&=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\xi x}}{x^2+16}
=2\pi i\,\text{Res}_{z=4i}\,\frac{e^{i\xi z}}{z^2+16}\\
&=2\pi i\lim_{z\to4i}\,\frac{e^{i\xi z}}{z+4i}
=2\pi i\frac{e^{-4\xi}}{8i}=\frac{\pi}{4}e^{-4|\xi|},
\end{align*}
un risultato finale che vale anche per $\xi<0$ [sostituendo $x\mapsto-x$
nell'integrale originale] e $\xi=0$ [applicando il Teorema della Convergenza
Dominata]. Si pu\`o dimostrare, come nel secondo esercizio, che l'integrale
lungo $C_R^+$ tende a zero se $R\to+\infty$, uniformemente in $\xi\in\R$.
\item[4.] {\bf SOLUZIONE}: Sostituendo $z=e^{i\theta}$, si ha:
\begin{align*}
\int_0^{2\pi}&\frac{d\theta}{13+12\sin(\theta)}=\oint_{|z|=1}\,\frac{dz/(iz)}
{13-6i[z-z^{-1}]}=\oint_{|z|=1}\,\frac{dz}{13iz+6z^2-6}\\
&=2\pi i\,\text{Res}_{z=-\tfrac{2}{3}i}\,\frac{1}{13iz+6z^2-6}\\
&=2\pi i\lim_{z\to-\tfrac{2}{3}i}\,\frac{z+\tfrac{2}{3}i}{13iz+6z^2-6}
=2\pi i\lim_{z\to-\tfrac{2}{3}i}\,\frac{1}{13i+12z}=\frac{2\pi}{5}.
\end{align*}
\end{itemize}

\end{document}
