1^ MODULO SEMESTRALE

Generalità sulle strutture matematiche astratte+ - Gruppi, anelli, spazi lineari, algebre+ - approccio assiomatico all'algebra complessa* - richiami elementari sui numeri complessi: definizioni, proprietà, applicazioni * - il piano di Gauss, domini e connessione, la sfera di Riemann+ - funzioni analitiche: definizioni, prime proprietà - relazioni con funzioni armoniche, trasformazioni conformi e di Moebius- estensione al complesso delle trascendenti elementari# - funzioni monodrome: zeri, poli e singolarità essenziali - funzioni polidrome: tagli, diramazioni, superfici di Riemann - integrazione in campo complesso: integrali di linea: teorema fondamentale, rappresentazione integrale di Cauchy, valor principale - lemmi di Jordan# - rappresentazioni integrali e per serie - teoremi di Liouville e Morera - serie di Taylor e di Laurent - studio locale di funzioni analitiche: punti singolari, residui e loro calcolo - teorema dei residui -introduzione al prolungamento analitico - calcolo di integrali in campo complesso: tecniche complesse per integrali reali@ - il caso di singolarita' sul contorno: calcolo di parti principali@ - cenni sull'integrazione di funzioni polidrome#@ - il principio di riflessione di Schwarz - cenni sulle relazioni di dispersione - la funzione di Eulero .

Testi consigliati (a scelta):

per uno studio di base:

Rossetti-Cap.I (esclusi §§26;28.1.

2.3;29;30;31;32;33)

per uno studio piu’ approfondito e rigoroso:

Bernardini -Cap. 1, 2, 3 (esclusi §§1.2.1,1.2.2,1.2.4,1.4.3,1.5.3,1.7.3, 234,2.3.5,3.4.3,3.6.7, 3.7....)

Testi per integrazioni, *Schaum-Cap. I e II

complementi ed esercizi #Hildebrand-Cap X

@Arfken- Cap. VI e VII

+ Villi -Cap. II

Generalita' sulle eq. diff. alle derivate parziali lineari del 2° ordine: classificazione,metodi generali di soluzione, tipologie notevoli*^ - il metodo di separazione delle variabili* - digressione sui sistemi di coordinate curvilinee generali* Equazioni differenziali ordinarie lineari del 2° ordine in campo complesso: teoremi di esistenza e analiticita' delle soluzioni + - studio delle eventuali polidromie delle soluzioni+ - teorema di Fuchs+ - integrazione per serie di Frobenius+ - eq. totalmente fuchsiane+ - -equazione e funzioni ipergeometriche+ - il simbolo P di Riemann e sue proprietà + - equazione e funzioni di Legendre+ - funzioni armoniche sferiche e loro prime proprietà+ - equazione e funzioni ipergeometriche confluenti+ - equazione e funzioni di Bessel+

Testi consigliati: (+) Rossetti - Capp. VIII e IX

(*) Arfken – Cap. 2&1 e Cap 8 &1

Linearità e non linearità in Fisica+ -Spazi vettoriali di dimensione finita+ - Spazi vettoriali finito-dimensionale nel formalismo di Dirac - operatori, matrici e loro algebra - il prodotto scalare - basi rappresentative, cambiamenti di base ed invarianti - operatori hermitiani, unitari e normali - basi ortonormali: ricerca di autovalori ed autovettori e loro proprieta'-il caso degli operatori normali - diagonalizzazione simultanea di operatori normali - matrici di Pauli+ - funzioni di matrici+ - teorema spettrale per operatori diagonalizzabili e per operatori autoaggiunti+

Testo consigliato : Rossetti-Cap. II

Testo per integrazioni

e approfondimenti (+)Bernardini Cap. 4 (§1, 2)

2^ MODULO SEMESTRALE

Spazi lineari astratti: linearità, dimensionalita' e tipologie - spazi metrici - topologia indotta dalla metrica - ( generalità sugli spazi topologici: aperti, intorni, chiusura, punti interni e punti limite - sottoinsiemi densi, sottoinsiemi compatti, spazi separabili, spazi separati o di Hausdorff, spazi completi, spazi topologici lineari: solo definizioni e proprieta' notevoli senza dimostrazione)+ - applicazioni continue e omeomorfismi+ - teorema delle contrazioni - spazi normati e spazi di Banach - spazi euclidei e spazi di Hilbert - sviluppo formale in serie di Fourier - relazioni di Bessel e di Parseval -isomorfismo con L2- funzionali lineari e teorema di Riesz - introduzione alle distribuzioni: spazi di prova, convergenze, distribuzioni normali e singolari - successioni di distribuzioni e loro limite: le sequenze di Dirac# - la distribuzione "d" di Dirac, sue proprietà e rappresentazioni -

Testo consigliato: Bernardini - Cap. 4 (§3, 4, 5)

Testo per complementi (+) Fano , Cap. III (&3,4,5,6,7)

e approfondimenti (#) Boccara - Cap. 4 (&1,3)

Spazi di funzioni - richiami sulla misura e sull'integrale di Lebesgue - funzioni sommabili e a quadrato sommabile - lo spazio L2 come spazio di classi di funzioni - completezza e convergenza in media in L2 - sviluppi formali in serie di Fourier in L2 - disuguaglianza di Bessel e relazione di Parseval in L2 - relazione di Parseval generalizzata e integrazione della serie di Fourier -transitivita' della completezza - completezza e chiusura - teorema di Fischer - principali basi ortonormali complete in L2 - base trigonometrica ed esponenziale - - base delle potenze e dei polinomi- il caso di supporti infiniti e funzioni peso - isomorfismo di L2 con l2 - cenni sulle proprietà generali dei P.O.C. (senza dimostrazioni)* - la delta di Dirac in L2: rappresentazioni e proprietà di calcolo^

Testi consigliati: Rossetti, Cap.III,IV* e VI^

Generalità sul metodo delle trasformate integrali° - tipologie principali° - richiami sullo sviluppo in serie di Fourier# - definizioni ed esistenza della trasformata integrale e della rappresentazione integrale di Fourier#- la trasformata di Fourier in L2# - l'operatore di Fourier come isometria^- teorema di Plancherel (s.d.)#- principali proprieta' di calcolo della trasformata di Fourier# - teorema di convoluzione #- applicazione alle eq. differenziali#: - soluzione dell'eq. del calore+

(°) Arfken - Cap. 15 § 1

Testi consigliati: (#) Rossetti- Cap. VI

(+) Kolmogorov - Cap. VIII § 6

Tipologie generali - trasformazione di problemi differenziali in problemi integrali - metodi generali di soluzione di eq.integrali: trasformate integrali, serie di Neumann, kernels separabili, soluzioni numeriche e problemi mal posti - teoria di Hilbert Schmidt - funzione di Green in una dimensione - soluzione di problemi di Sturm-Liouville

Testo consigliato Arfken - Cap. 16 (§ 1,2,3,4,5)

Operatori in uno spazio di Hilbert: domini di definizione, uguaglianza, estensione+# - operatori limitati e non limitati#, densamente definiti, invertibili+ - aggiunto di un operatore: operatori hermitiani, simmetrici e autoaggiunti#+° - l'operatore di Fourier, quelli di Hilbert Schmidt o Fredholm, di posizione e di momento# - operatori ed equazioni: esistenza e unicità delle soluzioni+ - teorema dell'alternativa di Fredholm+ - operatori compatti+ - teoria spettrale: definizioni e proprieta' generali+# - operatore risolvente, set risolvente, spettro di un operatore+# - l'operatore di proiezione e di posizione # - il caso degli operatori lineari, di quelli limitati e di quelli compatti# - proprieta' spettrali degli operatori autoaggiunti# e di quelli unitari+ - teorema spettrale per gli autoaggiunti compatti# - operatori a risolvente compatto# - applicazioni del teorema dell'alternativa di Fredholm# - problemi di Sturm Liouville#

Testi consigliati: (+) Bernardini - Cap 4, § 5, 6

(#) Boccara - Cap. 5

Testi per consultazione (°)Fano - Cap. III, p.126; V (&4,6,7)

approfondimenti ed

esercizi

(esercitazioni e applicazioni per la Teoria spettrale degli operatori facoltativo)

Autovettori di operatori autoaggiunti anche non limitati: il caso notevole dell'operatore di Schròdinger in L2 - spettro discreto: autovettori propri ordinari e generalizzati - teorema di sviluppo spettrale: spettro continuo ed autovettori impropri (s.d.)- generalizzazione delle relazioni di ortogonalita' e completezza: il formalismo della delta di Dirac - esempi unidimensionali: l'operatore momento, il caso della particella libera, l'operatore di posizione- l'oscillatore lineare e l'atomo d'idrogeno quantistici - polinomi di Hermite, Legendre e Laguerre

Testo consigliato: Caldirola- Cap. VI (&1,2),

Cap VII (&7,11,14)

BIBLIOGRAFIA

M.R. SPIEGEL: Variabili Complesse - Collana SCHAUM - EtasLibri

C. BERNARDINI, RAGNISCO, SANTINI: Metodi matematici della Fisica - La nuova Italia Scientifica - Roma 1994

C.ROSSETTI: Metodi matematici per la Fisica - Levrotto & Bella - Torino 1978

F.B.HILDEBRAND: Advanced Calculus for Applications - Prentice Hall, Inc. 1962

G.ARFKEN: Mathematical Methods for Physicists - Academic - Press -1995 -

G. FANO: Metodi Matematici della Meccanica Quantistica Zanichelli - 1967

P.CALDIROLA, R.CIRELLI, G.M.PROSPERI: Introduzione alla Fisica Teorica - UTET1982

N.BOCCARA: Functional Analysis - Academic Pres-1990

A.N. KOLMOGOROV, S.V. FOMIN: Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale - edizioni MIR 1980