Metodi Matematici Avanzati
per la Laurea Specialistica in Fisica

1. EQUAZIONI DELLA FISICA MATEMATICA
   1. Coordinate ortogonali e Laplaciano in coordinate ortogonali, in particolare in quelle polari, cilindriche e sferiche
   2. Separazione delle variabili in coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche
   3. Equazioni di Helmholtz, del calore e delle onde nell'intervallo e nel rettangolo.
2. ANALISI FUNZIONALE
   1. Spazi di Banach e di Hilbert
   2. Basi ortonormali, processo di Gram-Schmidt, applicazione alle serie di Fourier
   3. Operatori lineari limitati, loro spettro, operatori autoaggiunti e unitari
3. EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI
   1. Equazioni differenziali del secondo ordine: Esistenza e unicità delle soluzioni, (in)dipendenza lineare e Wronskiano, metodo della variazione dei parametri
   2. Risoluzione tramite lo sviluppo in serie di potenze: Metodo di Frobenius, incluso l'equazione indiciale, ma senza la costruzione della seconda soluzione linearmente indipendente nel caso di una differenza intera tra gli zeri dell'equazione indiciale
   3. Funzioni ipergeometriche e ipergeometriche confluenti
   4. Funzioni di Bessel: Serie di potenze, andamento in zero e all'infinito, zeri, ortogonalità, funzioni di Neumann e Hankel, funzioni immaginarie di Bessel. Senza dimostrazioni delle proprietà degli zeri e della costante di normalizzazione, senza dimostrazione delle proprietà asintotiche all'infinito
   5. Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, operatore di Laplace-Beltrami, tutto quanto in dimensione 2 e 3
   6. Funzioni di Legendre e di Legendre associate: formula di Rodriguez, equazione differenziale, ortogonalità, ricorrenza, normalizzazione
   7. Polinomi ortogonali classici: Chebyshev, Hermite, Laguerre, come prima, ma senza conoscere a memoria i dettagli
   8. Polinomi ortogonali generali: zeri (quanti, moltiplicità, posizione, interlacing)
   9. Funzione gamma, senza il teorema di Bohr-Mollerup
4. EQUAZIONI INTEGRALI
   1. Limitatezza degli operatori integrali: in L₂ e C
   2. Equazioni integrali di Volterra
   3. Principio di Rayleigh-Ritz per le equazioni integrali hermitiane, senza la dimostrazione dell'esistenza dell'autovalore principale
   4. Teorema di Hilbert-Schmidt
5. PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE
   1. Problemi di Sturm-Liouville unidimensionali: condizioni al contorno, proprietà degli autovalori, esempi
   2. Conversione in un'equazione integrale e funzioni di Green unidimensionali
6. FUNZIONI DI GREEN
   1. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali di secondo ordine
   2. Problemi di Sturm-Liouville multidimensionali: condizione al contorno, proprietà degli autovalori
   3. Equazioni di Laplace-Poisson (in intervalli, nell'intero spazio, nel semipiano, nel disco, nella sfera), in dimensione 1-2-3
   4. Equazione di Helmholtz
   5. Equazione del calore
   6. Equazione delle onde, formula di D'Alembert
7. TEORIA DEI GRUPPI
   1. Gruppi astratti: definizione, omomorfismi, sottogruppi (senza sottogruppi normali e gruppi quoziente), esempi
   2. Gruppi discreti/finiti: alcuni esempi quali S_n e D_n
   3. Gruppi di Lie/continui: definizione, algebre di Lie, generatori
   4. In dettaglio: SO(2), SO(3), SU(2), trasformazione SU(2)-->SO(3), gruppo di Lorentz
   5. Rappresentazioni unitarie: definizione, equivalenza, (ir)reducibilità, Lemma di Schur, ortogonalità. Lasciar perdere le rappresentazioni non unitarie