Programma del corso
di Metodi matematici della fisica

AA 2002/03, Docente M. Cadoni

  1. Richiami. Analisi vettoriale elementare. Rotazioni del sistema di coordinate. Operatori vettoriali-differenziali. Integrali di linea, di superficie e di volume. Teoremi di Gauss e Stokes. Rappresentazioni ed algebra dei numeri complessi. Strutture algebriche e loro rappresentazione.
  2. Spazi vettoriali lineari. Definizione di spazio vettoriale sul campo complesso. Prodotto scalare. Norma di un vettore. Ortonormalità. Diseguaglianza di Schwarz. Notazione di Dirac. Operatori. Algebra degli operatori. Parentesi di commutazione e loro proprietà. Operatore inverso. Operatore aggiunto ed operatori Hermitiani. Operatori unitari. Operatori di proiezione. Autovalori ed autovettori. Autovalori ed autovettori di operatori Hermitiani. Proprietà spettrali. Basi. Basi ortonormali. Relazione di completezza. Cenni sugli spazi di Hilbert. Spazio delle funzioni al quadrato sommabili, L2. Sviluppo in serie di Fourier. Basi. Completezza Esempi di operatori su L2. Sistemi completi più comuni. Rappresentazioni di spazi vettoriali a dimensione finita tramite matrici. Algebra delle matrici. Determinanti. Matrice trasposta ed inversa. Matrici ortogonali, Hermitiane ed unitarie. Cambiamenti di base e trasformazioni unitarie. Autovalori ed autovettori di una matrice. Equazione secolare. Diagonalizzazione di una matrice. Diagonalizzazione simultanea di matrici e matrici normali.
  3. Sistemi di Coordinate e nozioni di calcolo tensoriale. Coordinate curvilinee generalizzate. Coordinate polari piane. Coordinate cilindriche e polari sferiche. Proprietà metriche. Cenni sulle geometrie non-Euclidee. Nozione di tensore di rango n. Componenti covarianti e controvarianti. Algebra tensoriale. Tensore metrico e tensore di Levi-Civita. Densità tensoriali. Operatori differenziali ed integrazione in coordinate curvilinee generalizzate.
  4. Funzioni di variabile complessa. Funzioni analitiche. Condizioni di Cauchy-Riemann. Integrale su una curva e teorema di Cauchy. Rappresentazione integrale di Cauchy. Espansione in serie di Taylor e continuazione analitica. Serie di Laurent. Estensione al complesso delle trascendenti elementari. Punti di singolarità. Singolarità polari ed essenziali. Punti di diramazione. Residui. Teorema dei residui. Calcolo di residui. Uso dei residui per il calcolo di integrali definiti. Relazioni di dispersione.
  5. Equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie elementari. Equazioni differenziali alle derivate parziali separabili. Studio dei punti di singolarità di una equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine. Punti Fuchsiani. Risoluzione tramite sviluppo in serie nell'intorno di un punto Fuchsiano: metodo di Frobenius.
  6. La funzione delta di Dirac e trasformate integrali. La funzione delta di Dirac e sue proprietà. Rappresentazioni della funzione delta di Dirac. Trasformate integrali. Trasformata di Fourier. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier di convoluzioni.

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ultimo aggiornamento: 13/11/2004