Classificazione delle equazioni alle derivate parziali di secondo ordine
Coordinate ortogonali e Laplaciano in coordinate ortogonali, in particolare
in quelle polari, cilindriche e sferiche
Separazione delle variabili in coordinate cartesiane, polari, cilindriche
e sferiche
Equazioni differenziali: Esistenza e unicità delle soluzioni,
(in)dipendenza lineare e Wronskiano, metodo della variazione dei parametri,
tutto quanto per le equazioni lineari del secondo ordine
Risoluzione tramite lo sviluppo in serie di potenze: Metodo di Frobenius,
incluso l'equazione indiciale, ma senza la costruzione della seconda soluzione
linearmente indipendente nel caso di una differenza intera tra gli zeri
dell'equazione indiciale
Funzioni ipergeometriche e ipergeometriche confluenti
Funzioni di Bessel: Serie di potenze, anadamento in zero e all'infinito,
zeri, ortogonalità, funzioni di Neumann e Hankel, funzioni immaginarie
di Bessel. Senza dimostrazioni delle proprietà degli zeri e della
costante di normalizzazione
Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, operatore di
Laplace-Beltrami, tutto quanto in dimensione 2 e 3
Funzioni di Legendre e di Legendre associate: formula di Rodriguez,
equazione differenziale, ortogonalità, ricorrenza, normalizzazione,
quest'ultima senza conoscere i dettagli della dimostrazione
Polinomi ortogonali classici: Chebyshev, Hermite, Laguerre, come prima,
ma senza conoscere a memoria i dettagli (soltanto come si potrebbero
derivare)
Polinomi ortogonali: zeri (quanti, moltiplicità, dove si trovano)
EQUAZIONI INTEGRALI E PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE
Limitatezza degli operatori integrali: in L2 e C
Principio di Rayleigh-Ritz per le equazioni integrali hermitiane, senza
dettagli della dimostrazione
Teorema di Hilbert-Schmidt
Problemi di Sturm-Liouville unidimensionali: condizione al contorno,
proprietà degli autovalori, esempi
Conversione in un'equazione integrale e funzioni di Green unidimensionali,
senza dettagli della dimostrazione
FUNZIONI DI GREEN MULTIDIMENSIONALI
Il programma dettagliato è ancora da stabilire. Al momento si pensa a
trattare le soluzioni delle equazioni di Laplace e Poisson tramite le funzioni
di Green, le funzioni di Green per alcuni domini facili, e la teoria del
potenziale.
TEORIA DEI GRUPPI
Gruppi astratti: definizione, omomorfismi, sottogruppi (senza sottogruppi
normali e gruppi quoziente), esempi
Gruppi discreti/finiti: alcuni esempi quali Sn e Dn
Gruppi di Lie/continui: definizione, algebre di Lie, generatori
In dettaglio: SO(2), SO(3), SU(2), trasformazione SU(2)-->SO(3)
Rappresentazioni unitarie: definizione, equivalenza,
(ir)reducibilità, Lemma di Schur, ortogonalità. Lasciar perdere
le rappresentazioni non unitarie