Fondamenti di Analisi Superiore 2 8 crediti Antonio Greco Dipartimento di Matematica e Informatica via Ospedale 72, 09124 Cagliari Programma e prerequisiti del corso Anno accademico 2011/12 Programma Teoria delle distribuzioni. Lo spazio D delle funzioni test, convergenza nello spazio D. Lo spazio D', convergenza nel senso delle distribuzioni. Esempi fondamentali: la distribuzione delta di Dirac. Successioni di funzioni regolari aventi per limite la delta di Dirac. Derivata nel senso delle distribuzioni. Derivazione della funzione a gradino di Heaviside. Distribuzioni temperate (cenni). Problemi classici del calcolo delle variazioni. Il problema del corpo di minima resistenza di Newton Il problema della brachistocrona Il problema isoperimetrico Il problema di Plateau Il problema delle geodetiche Funzionali del calcolo delle variazioni Problemi variazionali elementari. Il problema isoperimetrico nella classe dei rettangoli Area massima di un triangolo avente due lati assegnati Area massima di un triangolo avente un lato e il perimetro assegnati Area massima di un poligono di 2n lati avente il perimetro assegnato Legge di Snell della rifrazione Una soluzione parziale di Steiner del problema isoperimetrico nel piano Completamento della soluzione di Steiner del problema isoperimetrico nel piano Metodi classici. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni Lemma di Du Bois-Reymond Equazione di Eulero-Lagrange Determinazione dell'equazione di Eulero-Lagrange, e sua integrazione, nel problema della brachistocrona Tronco di cono ottimale nel problema di Newton Metodo dei moltiplicatori di Lagrange in dimensione infinita Condizione necessaria per la soluzione del problema isoperimetrico nel piano con il metodo dei moltiplicatori Il problema della catenaria Elementi di analisi funzionale. Funzioni di classe C^k Domini di classe C^k Funzioni di classe C^k,alfa Funzioni lipschitziane Spazi L^p Disuguaglianza di Young Disuguaglianza di Holder Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz L'inclusione di L^s(I) in L^r(I) con s > r, e I di misura finita Convergenza puntuale Convergenza in L^p Convergenza debole in L^p con p finito Convergenza uniforme Completezza di C^0 nella norma uniforme Completezza di L^p Serie di Fourier in L^2. Uguaglianza di Parseval La soluzione di Hurwitz del problema isoperimetrico Spazi di Sobolev. Esempio di una successione minimizzante convergente in W^1,p ma non in C^1 Estremali spezzate Il teorema di Bolzano-Weierstrass non vale in dimensione infinita: controesempio Determinazione di estremali ed estremanti di funzionali Disuguaglianza di Poincaré Teorema di compattezza debole Cenni ai metodi diretti. Debole semicontinuità inferiore Il metodo diretto: teorema fondamentale Il funzionale lunghezza L'integrale di Dirichlet Pre-requisiti Definizione di massimo e minimo di un insieme di numeri reali e di una funzione a valori reali Definizione di maggiorante e minorante di un insieme Definizione di insieme limitato e di funzione limitata Definizione di estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme e di una funzione Proprietà degli estremi superiore ed inferiore Successioni minimizzanti Completezza dell'insieme dei numeri reali Criterio di Cauchy per le successioni di numeri reali Limite superiore, limite inferiore di una successione e di una funzione a valori reali Nozione di punto critico per una funzione di una variabile reale Legame e differenze fra punti critici ed estremi Topologia di R^n Teorema di Bolzano-Weierstrass Compattezza per successioni Teorema di Heine-Borel Teorema di Weierstrass Continuità uniforme Teorema di Heine-Cantor Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange in dimensione finita Le funzioni senh(t)e cosh(t), le loro inverse e le proprietà principali Numerabilità dell'insieme dei razionali Non integrabilità secondo Riemann della funzione di Dirichlet L'integrabilità secondo Riemann non si conserva passando al limite Misura di Lebesgue: misura degli aperti, misura esterna, misura dei compatti, definizione della misura di Lebesgue degli insiemi limitati, definizione della misura di Lebesgue degli insiemi illimitati, numerabile additività della misura di Lebesgue. Misura dell'insieme dei razionali Integrazione secondo Lebesgue. Passaggio al limite sotto il segno di integrale: teorema della convergenza limitata, teorema della convergenza monotona (Beppo Levi), teorema della convergenza dominata Controesempi: onda viaggiante, delta-approssimante Derivazione sotto il segno di integrale nella teoria di Riemann Derivazione sotto il segno di integrale nella teoria di Lebesgue Funzioni assolutamente continue Teorema fondamentale del calcolo integrale Spazi metrici Spazi normati Spazi di Banach Spazi di Hilbert