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\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\centerline{Fondamenti di Fisica Matematica: Primo parziale}
\centerline{03.05.2011}

\bigskip
\noindent Cognome e nome: \dotfill Matricola: $\ldots\ldots\ldots$
\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
 es.1& es.2& es.3&somma\\ \hline
 6&12&12&30\\ \hline
  &  &  &  \\
  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\begin{itemize}
\item[1.] Risolvere, mediante il metodo di D'Alembert, il seguente problema
differenziale:
$$\begin{cases}u_{tt}=4u_{xx},&-\infty<x<+\infty,\\ u(x,0)=1,\\
u(x,t)\to1,&x\to+\infty\ \text{per\ ogni}\ t\in\mathbb{R},\\ u_t(x,0)=e^{-x}.
\end{cases}$$
%$u(x,t)=1+\tfrac{1}{2}e^{-x}\sinh(2t)$.
\item[2.] Calcolare lo spettro del seguente problema di Sturm-Liouville:
$$\begin{cases}y^{\prime\prime}+2y^\prime+(\lambda+5)y=0,&0\le x\le2,\\
y(0)+y^\prime(0)=0,\\ y(2)=0,\end{cases}$$
determinando il peso rispetto a quale sono ortogonali le autofunzioni.
\item[3.] Risolvere, mediante separazione delle variabili, il seguente problema
differenziale:
$$\begin{cases}u_t=u_{xx}+4u_x+29u,&0\le x\le\pi,\ t\ge0,\\
u(0,t)=0,\\ u(\pi,t)=u_x(\pi,t),\\ u(x,0)=(\pi-x)\sin(x).\end{cases}$$
\end{itemize}

\newpage

\centerline{\bf SOLUZIONI}

\begin{itemize}
\item[1.] Ponendo $u(x,t)=v(x,t)+1$, otteniamo il seguente sistema
differenziale:
$$\begin{cases}v_{tt}=4v_{xx},&-\infty<x<+\infty,\\ v(x,0)=0,\\
v(x,t)\to0,&x\to+\infty\ \text{per\ ogni}\ t\in\mathbb{R},\\ v_t(x,0)=e^{-x}.
\end{cases}$$
Rappresentando $v(x,t)$ nella forma
$$v(x,t)=-f(x-2t)+f(x+2t),$$
si ha $f^\prime(x)=\tfrac{1}{4}e^{-x}$ e quindi $f(x)=c-\tfrac{1}{4}e^{-x}$ per
un'opportuna costante $c$. Di conseguenza,
$$u(x,t)=1+\tfrac{1}{4}e^{-(x-2t)}-\tfrac{1}{4}e^{-(x+2t)}=1+\tfrac{1}{2}e^{-x}
\sinh(2t).$$
\item[2.] L'equazione differenziale \` lineare, omogenea, di secondo ordine e di
coefficienti costanti, con equazione caratteristica
$$\alpha^2+2\alpha+(\lambda+5)=0,$$
oppure $(\alpha+1)^2=-(\lambda+4)$. Per $\lambda>-4$ otteniamo (dato che
$y(2)=0$) $y(x)\sim e^{-x}\sin[(2-x)\sqrt{\lambda+4})]$, dove
$$\cos[2\sqrt{\lambda+4}]=0.$$
Quindi $\lambda_n=-4+[(2n-1)\pi/4]^2$. Le corrispondenti autofunzioni sono:
$$\phi_n(x)=e^{-x}\sin[(2n-1)\frac{\pi}{4}(2-x)].$$
Poich\`e
$$-(e^{2x}y^\prime)^\prime=(\lambda+5)e^{2x}y,$$
otteniamo la relazione di ortogonalit\`a
$$\int_0^2\phi_n(x)\phi_m(x)\,dx=N_n\delta_{n,m},\qquad n,m=1,2,3,\ldots,$$
essendo $N_n>0$ un'opportuna costante di normalizzazione (infatti, $N_n=1$).
Ci rimane l'esclusione dei casi $\lambda=-4$ e $\lambda<-4$. Per $\lambda=-4$
otteniamo $y(x)=c(2-x)e^{-x}$. La condizione $y(0)+y^\prime(0)=-c=0$ darebbe
$y(x)\equiv0$. Nel caso $\lambda<-4$, avremmo
$$y(x)=ce^{-x}\sinh[(2-x)\sqrt{-\lambda-4}].$$
Di conseguenza,
$$y(0)+y^\prime(0)=-c\sqrt{-\lambda-4}\cosh[2\sqrt{-\lambda-4}],$$
il quale pu\`o soltanto annularsi se $c=0$.
\item[3.] Ponendo $u(x,t)=e^{-\lambda t}\phi(x)$, risulta
$$\phi^{\prime\prime}+4\phi^\prime(x)+(\lambda+29)\phi(x)=0.$$
Oppure:
$$-(e^{4x}\phi^\prime)^\prime=(\lambda+29)e^{4x}\phi(x).$$
L'equazione catteristica
$$(\za+2)^2=-(\zl+25)$$
conduce a tre casi: $\zl>-25$, $\zl=-25$ e $\zl<-25$. Nel caso $\zl>-25$ abbiamo
$$\phi_n(x)=e^{-2x}\sin[x\sqrt{\zl_n+25}],$$
dove $\zl_n=-25+(\za_n/\pi)^2$, essendo, per $n=1,2,3,\ldots$, $\za_n$ la
soluzione dell'equazione $\tan(\za)=-(\za/3\pi)$ nell'intervallo
$((n-\tfrac{1}{2})\pi,(n+\tfrac{1}{2})\pi)$. Dunque
$$\int_0^\pi\phi_n(x)\phi_m(x)e^{4x}\,dx=N_n\zd_{n,m},\qquad n,m=1,2,3,\ldots,$$
per un'opportuna costante di normalizzazione $N_n$. Per $\zl=-25$ otteniamo
$\phi(x)=cxe^{-2x}$. In tal caso $\phi(\pi)-\phi^\prime(\pi)2\pi ce^{-2\pi}$
si annulla se e solo se $c=0$. Nel caso $\zl<-25$ risulta
$$\phi(x)=ce^{-2x}\sinh(x\sqrt{-\zl-25}).$$
In tal caso
\begin{align*}
\phi(\pi)-\phi^\prime(\pi)&=ce^{-2\pi}\left[-\sinh(\pi\sqrt{-\zl-25})\right.\\
&+\left.\sqrt{-\zl-25}\cosh(\pi\sqrt{-\zl-25})\right]
\end{align*}
si annulla se e solo se $c=0$. Poich\`e tutti gli autovalori sono maggiori di
$-25$, abbiamo
$$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\,c_ne^{-\zl_nt}e^{-2x}\sin(x\sqrt{\zl_n+25}),$$
dove
$$\sum_{n=1}^\infty\,c_ne^{-2x}\sin(x\sqrt{\zl_n+25})=(\pi-x)\sin(x).$$
Si calcola facilmente che
$$c_n=\frac{1}{N_n}\int_0^\pi(\pi-x)\sin(x)e^{-2x}\sin(x\sqrt{\zl_n+25})\,dx.$$
\end{itemize}

\end{document}
