%February 27, 2014

\chapter{Biforcazioni e cicli-limite}

In questo capitolo discuteremo il teorema di Poincar\'e-Bendixson che
costituisce uno strumento basilare per lo studio dei sistemi dinamici in
$\mathbb{R}^2$ e fornisce un criterio valido per individuare i cicli-limite nel
piano.  Successivamente, applicheremo questo teorema all'oscillatore di Van der
Pol. Infine discuteremo il modello logistico di Verhulst e l'oscillatore di
Lorenz.

\section{Teorema di Poincar\'e-Bendixson}

Consideriamo il sistema
\begin{equation}\label{6.1}
\dot{x}=f(x),\quad x=(x_1,x_2),\quad f=(f_1,f_2),\quad f_1,f_2\in C^1(\Omega),
\end{equation}
dove $\Omega\subset{\mathbb{R}^2}$ \`e un insieme
aperto.

\begin{theorem}[Criterio di Bendixson]\hskip-3pt
Sia $\Omega$ un aperto semplicemente connesso. Se
$$\hbox{div$(f)(x)$}=\partial_{x_1}f_1(x)+\partial_{x_2}f_2(x)$$
non cambia segno in $\Omega$ e non \`e identicamente nulla in
ogni sottoinsieme aperto di $\Omega$, allora il sistema \eqref{6.1} non
ammette soluzioni periodiche.
\end{theorem}

Nel caso in cui $f_1$ dipende soltanto da $x_2$ e $f_2$ soltanto da $x_1$
abbiamo $\text{div}(f)\equiv 0$ in $\Omega$, cio\`e non si verificano le ipotesi
del Criterio di Bendixson (Ivar Otto Bendixson [1861--1935]). Ci\`o vale anche
per il pendolo semplice. Nel caso del sistema di Lotka-Volterra la divergenza
della $f$ cambia segno in ogni intorno del punto di equilibrio. In entrambi gli
esempi esiste un intorno del punto di equilibrio che consiste in cicli.

D'altra parte, l'oscillatore armonico con attrito \eqref{4.2} fornisce
un'applicazione del criterio di Bendixson: infatti, in tal caso
$\text{div}(f)=-k<0$. Di conseguenza non ne esiste alcuna soluzione periodica.

\begin{dimostrazione}
Supponiamo, per assurdo, che
$t\!\rightarrow\!{\varphi(t)}\!=\!(\varphi_1(t),\varphi_2(t))$ sia una
soluzione periodica del sistema \eqref{6.1}, con periodo $T>0$.
Indichiamo con $C$ la curva $\varphi:[0,T]\rightarrow{\mathbb{R}^2}$ 
e con $D$ il dominio delimitato da $C$. Poich\`e $\Omega$ \`e semplicemente
connesso, $D\subset{\Omega}$. Per il Teorema di Gauss-Green e per le ipotesi
date, si ha
\begin{align}
0&\neq\iint_{D}\left(\underbrace{\partial_{x_1}f_1(x)+\partial_{x_2}f_2(x)}
_{\text{non}\ \text{cambia}\ \text{segno}}\right)dx_1dx_2
=\oint_{+C}\left(-f_2(x)dx_1+f_1(x)dx_2\right)\nonumber\\
&=\int_{0}^{T}\left(-f_2(x(t))x'_1(t)+f_1(x(t))x'_2(t)\right)dt\nonumber\\
&=\int_{0}^{T}\left(-f_2(x(t))f_1(x(t))+f_1(x(t))f_2(x(t))\right)dt=0,
\label{6.2}
\end{align}
il che \`e assurdo.
\end{dimostrazione}

\begin{example}
Consideriamo ora il sistema dinamico
$$\begin{cases}\dot{x}=-x+y^2,\\ \dot{y}=-y^3+x^2.\end{cases}$$
I suoi punti di equilibrio si ottengono risolvendo le equazioni $x=y^2$ e
$y^3=x^2$, cio\`e: $(0,0)$ [degenere] e $(1,1)$ [punto di sella].\footnote{Le
linearizzazioni sono del tipo $\dot{\vec{z}}=A\vec{z}$, dove
$A=\left(\begin{smallmatrix}0&0\\ 0&0\end{smallmatrix}\right)$ per $(0,0)$ e
$A=\left(\begin{smallmatrix}-1&2\\
2&3\end{smallmatrix}\right)$ per $(1,1)$.} Abbiamo
$$\text{div}(f)=\frac{\partial}{\partial x}(-x+y^2)
+\frac{\partial}{\partial y}(-y^3+x^2)=-1-3y^2<0,$$
quindi non ci sono soluzioni periodiche.
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.1}
\centering\resizebox{.5\textwidth}{!}{\includegraphics{bendixson}}
\caption{Orbite per un sistema dinamico con due punti di equilibrio \cite{V}.}
\end{figure}
\end{example}

Indichiamo con $\varphi^{+}=\varphi^{+}(x_0)=\{\varphi(t;x_0):t\geq{0}\}$ una
semi-orbita positiva.

\begin{definition}
Un punto $P$ \`e detto $\emph{punto
limite positivo}$ per $\varphi^{+}$ se esiste una successione
monotona crescente $t_k\rightarrow+\infty$ tale che
$\lim_{k\rightarrow{\infty}}\varphi(t_k,x_0)=P$. Indichiamo con $L(\varphi^{+})$
l'insieme di tutti i punti limite positivi.
\end{definition}

\begin{theorem}\label{th:PB1}
L'insieme $L(\varphi^{+})$ \`e \emph{invariante}, cio\`e
$$P\in{L(\varphi^{+})}
\Rightarrow{\varphi(t;P)\in{L(\varphi^{+})},\quad
\forall{t}\in{\mathbb{R}}}$$
Se $\varphi^{+}$ \`e limitata, allora $L(\varphi^{+})$ \`e un insieme non vuoto,
compatto e connesso.
\end{theorem}

\begin{dimostrazione}
Supponiamo che $P\in{L(\varphi^+)}$,
$t_k\!\rightarrow\!{+\infty}$, $P_k=\varphi(t_k;x_0)$ e
$\lim_{k\rightarrow{+\infty}}P_k=P$. Fissiamo un
$t\in{\mathbb{R}}$. Tenendo conto della dipendenza continua dai
dati iniziali, si ha
\begin{equation}\label{6.3}
\lim_{k\rightarrow{+\infty}}\varphi(t+t_k;x_0)=\lim_{k\rightarrow{+\infty}}
\varphi(t;\varphi(t_k;x_0))=\lim_{k\rightarrow{+\infty}}\varphi(t;P_k)
=\varphi(t;P).
\end{equation}
Quindi, $\varphi(t;P)\in{L(\varphi^{+})}$.

Sia $\{P_k\}_{k=1}^{\infty}\subset{L(\varphi^{+})}$ e
$\lim_{k\rightarrow{+\infty}}P_k=P$. Questo implica che, per ogni
$\varepsilon>0$, esiste un $\nu>0$ tale che
\begin{equation}\label{6.4}
\delta_k=\|P-P_k\|<\varepsilon,\quad k\geq{\nu}.
\end{equation}
Poich\`e $P_k\in{L(\varphi^{+})}$, esiste una successione monotona crescente
tale che
\begin{equation}\label{6.5}
\|\varphi(t_k;x_0)-P_k\|<\delta_k,\quad k\in{\mathbb{N}}.
\end{equation}
Dalle relazioni \eqref{6.4} e \eqref{6.5} segue che
$\|\varphi(t_k;x_0)-P\|<\varepsilon$ per $k\geq{\nu}$, e quindi
$L(\varphi^{+})$ \`e chiuso.

Ora, supponiamo che $\varphi^{+}$
sia limitata. L'insieme $L(\varphi^{+})$ \`e non vuoto e limitato. Dunque,
per il teorema di Heine-Borel,\footnote{Un sottoinsieme di $\R^n$ \`e compatto
se e solo se \`e chiuso e limitato.} l'insieme $L(\varphi^{+})$ \`e
compatto. Supponiamo, inoltre, che $L(\varphi^{+})$ non sia
connesso. Devono allora esistere due insiemi $M$ ed $N$ chiusi tali che
$M\cup{N}=L(\varphi^{+})$ e $M\cap{N}=\emptyset$. Poniamo
\begin{equation}\label{6.6}
\delta=d(M,N)=\ds{\min_{[\xi\in{M},\eta\in{N}]}}\,\|\xi-\eta\|>0.
\end{equation}
Allora esistono due successioni $\{t'_k\}_{k=1}^{\infty}$ e
$\{t''_k\}_{k=1}^{\infty}$ monotone e crescenti tali che per $k\in\N$:
\begin{equation}\label{6.7}
d(\varphi(t'_k;x_0),M)<\frac{\delta}{2},
\end{equation}
\begin{equation}\label{6.8}
d(\varphi(t''_k;x_0),N)<\frac{\delta}{2}.
\end{equation}
Dalle relazioni \eqref{6.6}, \eqref{6.7} e \eqref{6.8} e dalla disuguaglianza
triangolare, segue che per $k\in\N$
\begin{equation}\label{6.9}
d(\varphi(t'_k;x_0),M)<\frac{\delta}{2},
\end{equation}
\begin{equation}\label{6.10}
d(\varphi(t''_k;x_0),M)>\frac{\delta}{2}.
\end{equation}
Quindi, per il teorema degli zeri di una funzione continua, applicato alla
funzione continua $h(t)=d(\varphi(t;x_0),M)$, per ogni $k\in\N$ esiste
un $t_k\in{[t'_k,t''_k]}$ tale che
\begin{equation}\label{6.11}
d(\varphi(t_k;x_0),M)=\frac{\delta}{2},\quad k\in{\mathbb{N}}.
\end{equation}
La successione $\{\varphi(t_k;x_0)\}_{k=0}^{\infty}$ \`e limitata e quindi,
per il teorema di Bolzano-Weierstrass,\footnote{Ogni successione limitata in
$\R^n$ ha una sottosuccessione convergente.} una sua sottosuccessione
converge ad un punto $Q$ che, per la definizione dell'insieme
$L(\varphi^{+})$, deve appartenere a $L(\varphi^{+})=M\cup{N}$. Inoltre,
$d(Q,M)=(\zd/2)$ e quindi $Q\in N$, il che contraddice la relazione
\eqref{6.6}.. Quindi, $L(\varphi^{+})$ \`e connesso.
\end{dimostrazione}

\begin{theorem}[Poincar\'e-Bendixson]\label{th:PB}
Sia $\varphi^{+}$ limitata e $L(\varphi^{+})\subset{\Omega}$. Se
$L(\varphi^{+})$ contiene solo punti regolari, cio\`e
\begin{equation}\label{6.12}
P\in{L(\varphi^{+})} \Rightarrow{f(P)\neq{(0,0)}},
\end{equation}
allora vale una delle due seguenti tesi:
\begin{itemize}
\item[i)] $\varphi^{+}=L(\varphi^{+})$ ed essa \`e un'orbita periodica.
\item[ii)] $\varphi^{+}\cap{L(\varphi^{+})}=\emptyset$ e $L(\varphi^{+})$
\`e un'orbita periodica.
\end{itemize}
Di conseguenza, si ha che se $D$ \`e un sottoinsieme di $\Omega$, aperto e
limitato e tale che ogni orbita che entri in $D$ non possa pi\`u uscirne,
allora esiste un'orbita periodica in $D$.
\end{theorem}

Per dimostrare il Teorema \ref{th:PB}, introduciamo il concetto di
trasversale e dimostriamo quattro lemmi preliminari.

\begin{definition}
Sia $\ell$ un segmento chiuso e limitato di una retta nel piano. Diremo che
$\ell$ \`e \emph{trasversale rispetto a $\varphi(x)$} se
$\varphi(P)=(\varphi_1(P),\varphi_2(P))$ non \`e parallelo ad
$\ell$ per ogni $P\in{\ell}$.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{lem:6.1.1}
Valgono le seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[i)] se $P\in{\Omega}$ \`e un punto regolare per $\varphi(x)$ e
$\nu=(\nu_1,\nu_2)$ \`e un versore non parallelo a $\varphi(P)$, allora esiste
un segmento trasversale $\ell$ parallelo a $\nu$ e tale che
$P\in{\ell}$.
\item[ii)] Se $\ell$ \`e un segmento trasversale, ogni orbita interseca
$\ell$ trasversalmente. Questo significa che la retta alla quale appartiene
$\ell$ divide il piano $\mathbb{R}^2$ in due semi-piani $\pi_{+}$
e $\pi_{-}$ tali per cui si verifica una delle due seguenti alternative:
\begin{itemize}
\item[a)] se $x(\bar{t},x^0)\in{\ell}$, allora esiste $\delta>0$ tale che
$x(t',x^0)\in{\pi_{+}}$ per $t'\in{]\bar{t},\bar{t}+\delta[}$ e
$x(t'',x^0)\in{\pi_{-}}$ per $t''\in{]\bar{t}-\delta,\bar{t}[}$;
\item[b)] se $x(\bar{t},x^0)\in{\ell}$, allora esiste $\delta>0$ tale
che $x(t',x^0)\in{\pi_{-}}$ per $t'\in{]\bar{t},\bar{t}+\delta[}$
e $x(t'',x^0)\in{\pi_{+}}$ per
$t''\in{]\bar{t}-\delta,\bar{t}[}$.
\end{itemize}
\item[iii)] Sia $P_0\in{\ell}$.
Allora per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che se
$\|P-P_0\|<\varepsilon$ si ha che $x(t,P)\in{\ell}$ per un
certo $t\in{]-\varepsilon,\varepsilon[}$.
\end{itemize}
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Sia
\begin{equation}\label{6.13}
a_1(x_1-\bar{x_1})+a_2(x_2-\bar{x_2})=0,\quad \quad a_1^2+a_2^2=1,
\end{equation}
l'equazione normale di una retta che passa per il punto $\bar{x}$.
L'equazione parametrica di un segmento $\ell$ presenta la seguente forma:
\begin{equation}\label{6.14}
x_j(\tau)=\bar{x_j}+\nu_j
\tau,\quad j=1,2,\quad -\delta'\leq{\tau}\leq{\delta''},\quad 
\nu_1=-a_2,\;\nu_2=a_1,
\end{equation}
dove $\delta',\delta''>0$. Il segmento $\ell$ \`e trasversale se e solo se
\begin{equation}\label{6.15}
\det\begin{pmatrix}a_1 &a_2\\\varphi_1(x) &\varphi_2(x)\end{pmatrix}
=a_1\varphi_2(x)-a_2\varphi_1(x)=\nu_1\varphi_1(x)+\nu_2\varphi_2(x)\neq{0}.
\end{equation}
Se $\nu_1\varphi_2(\bar{x})-\nu_2\varphi_1(\bar{x})\neq{0}$, dall'ipotesi di
continuit\`a segue che, per $\delta'$ e $\delta''$ abbastanza piccoli, vale la
relazione \eqref{6.15}, e, dunque, la parte i) risulta provata.

Abbiamo definito il segmento trasversale $\ell$. Poniamo
\begin{equation}\label{6.16}
\pi_{\pm}=\{x\in{\mathbb{R}^2}:\pm{(a_1(x_1-\bar{x_1})+a_2(x_2-\bar{x_2}))}>0\}.
\end{equation}
Supponiamo, per assurdo, che $\ell$ sia trasversale ed esistano
due punti $P,Q\in{\ell}$ tali che le traiettorie $\gamma(P)$ e
$\gamma(Q)$ intersecano $\ell$ nelle direzioni opposte,
cio\`e per un certo $\delta>0$ si ha
\begin{subequations}\label{6.17}
\begin{align}
x(t,P)&\in{\pi_{\pm}},\quad \quad 0<\pm{t}<\delta,\label{6.17a}\\
x(t,Q)&\in{\pi_{\pm}},\quad \quad 0<\pm{t}<\delta.\label{6.17b}
\end{align}
\end{subequations}
Osserviamo che per \eqref{6.16} si conclude che \eqref{6.17} equivale a
\begin{subequations}\label{6.18}
\begin{equation}\label{6.18a}
\nu_1\frac{x_1(t',P)-x_1(t'',P)}{t'-t''}+\nu_2\frac{x_2(t',P)
-x_2(t'',P)}{t'-t''}>0,
\end{equation}
dove $0<t'<\delta$ e $-\delta<t''<0$,
\begin{equation}\label{6.18b}
\nu_1\frac{x_1(t',Q)-x_1(t'',Q)}{t'-t''}+\nu_2\frac{x_2(t',Q)-x_2(t'',Q)}
{t'-t''}<0,
\end{equation}
\end{subequations}
dove $0<t'<\delta$ e $-\delta<t''<0$.
Utilizzando il teorema di Lagrange, la continuit\`a di $\varphi(x)$, il teorema
della permanenza del segno e considerando che $x(t,P)$ e $x(t,Q)$ sono
soluzioni di \eqref{6.1}, da \eqref{6.18} otteniamo
$$\nu_1\varphi_1(P)+\nu_2\varphi_2(P)\geq{0},\quad \quad 
\nu_1\varphi_1(Q)+\nu_2\varphi_2(Q)\leq{0}.$$
La definizione di trasversale implica
\begin{equation}\label{6.19}
\nu_1\varphi_1(P)+\nu_2\varphi_2(P)>0,\quad \quad 
\nu_1\varphi_1(Q)+\nu_2\varphi_2(Q)<0.
\end{equation}
Queste disuguaglianze ed il teorema per gli zeri di una funzione
continua implicano l'esistenza di un punto $R\in{\ell}$,
compreso tra $P$ e $Q$, tale che
$\nu_1\varphi_1(R)+\nu_2\varphi_2(R)=0$. Questo \`e assurdo,
perch\'e $\ell$ \`e trasversale. Dunque, anche la parte ii) \`e dimostrata.

Sia $(\xi,\eta)\in{\Omega}$. L'orbita definita
da $x(t,(\xi,\eta))$ interseca il segmento trasversale se e solo
se l'equazione
\begin{equation}\label{6.20}
H(t,\xi,\eta)
=a_1(x_1(t,(\xi,\eta))-\bar{x_1})+a_2(x_2(t,(\xi,\eta))-\bar{x_2})=0
\end{equation}
ammette almeno una soluzione $t=t(\xi,\eta)$. Poich\`e abbiamo
$H(0,\bar{x_1},\bar{x_2})=0$ e $\partial_tH(0,\bar{x_1},\bar{x_2})
=\nu_1\varphi_1(\bar{x})+\nu_2\varphi_2(\bar{x})\neq{0}$,
l'applicazione del teorema sulle funzioni implicite permette di stabilire anche
la parte iii).
\end{dimostrazione}

\begin{lemma}\label{lem:6.1.2}
Sia $A=\{x(t,\bar{x}):\underline{t}\leq{t}\leq{\bar{t}}\}$ un arco
chiuso di un'orbita $\gamma(\bar{x})$ e sia $\ell$ un segmento
trasversale. Se $A\cap{\ell}\neq{0}$, allora $A\cap{\ell}$
\`e un insieme finito e l'ordine dei punti dell'intersezione su
$A$ e su $\ell$ \`e lo stesso. Pi\`u precisamente, se
\begin{equation}\label{6.21}
A\cap{\ell}=\{Q_1,\ldots,Q_m\},
\end{equation}
dove
\begin{equation}\label{6.22}
Q_k=x(\tau_k,\bar{x}),\quad \quad \quad k=1,\ldots,m,\quad 
\tau_1<\tau_2<\ldots<\tau_m,
\end{equation}
allora i vettori
\begin{equation}\label{6.23}
\overrightarrow{Q_1Q_2},\overrightarrow{Q_2Q_3},\ldots,
\overrightarrow{Q_{m-1}Q_m}
\end{equation}
hanno la stessa direzione. Quindi, se l'orbita $\gamma(\bar{x})$
\`e chiusa, allora essa non pu\`o intersecare $\ell$ in pi\`u di
un punto.
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Supponiamo, per assurdo, che $A\cap{\ell}$ sia un insieme infinito.
Allora esiste una successione
$\{t_k\}_{k=1}^{\infty}\subset{[\underline{t},\overline{t}]}$ tale
che $t_k\neq{t_i}$ per $k\neq{i}$ e
$P_k=\varphi(t_k)\in{\ell}$, $\varphi(t)=x(t,\bar{x})$. Per
il teorema di Bol\-za\-no-Wei\-er\-strass, considerando una
sottosuccessione di $\{t_k\}_{k=1}^{\infty}$, esiste
$\widehat{t}\in{[\underline{t},\overline{t}]}$ tale che
$\lim_{k\rightarrow{\infty}}t_k=\widehat{t}$. Poich\`e $\ell$
\`e chiuso, $P=\varphi(\widehat{t})\in{\ell}$. Il vettore
$\overrightarrow{\varphi(\widehat{t})\varphi(t_k)}$ \`e parallelo
ad $\ell$. Pi\`u precisamente, dividendo per
$t_k-\widehat{t}\neq{0}$, si ha
\begin{equation}\label{6.24}
\nu_1\frac{\varphi_1(t_k)-\varphi_1(\widehat{t})}{t_k-\widehat{t}}
+\nu_2\frac{\varphi_2(t_k)-\varphi_2(\widehat{t})}{t_k-\widehat{t}}=0,
\end{equation}
per infiniti $k\in{\mathbb{R}}$.
Dal fatto che $\varphi(t)$ \`e soluzione di \eqref{6.1} e dal teorema di
Lagrange, segue che esistono dei $\theta_k$, $\rho_k$ compresi tra $t_k$
e $\widehat{t}$ tali che
\begin{equation}\label{6.25}
\nu_1\varphi_{1*}(\varphi_1(\theta_k),\varphi_2(\rho_k))+\nu_2\varphi_{2*}
(\varphi_1(\theta_k),\varphi_2(\rho_k))=0,
\end{equation}
per infiniti $k\in{\mathbb{R}}$. Facendo tendere $k$ ad infinito,
si ottiene
$$\nu_1\varphi_1(P)+\nu_2\varphi_2(P)=0,$$
e quest'ultima equazione conduce a una contraddizione, giacch\'e $\ell$ \`e
un segmento trasversale e $P\in{\ell}$.

Abbiamo dimostrato che $A\cap{\ell}$ \`e
un insieme finito e per $m\in{\mathbb{N}}$ possiamo scrivere le
relazioni \eqref{6.21} e \eqref{6.22}. Senza perdita di generalit\`a,
con opportune traslazioni e rotazioni sul piano $O_{x_1x_2}$ e
tenendo conto che nella relazione \eqref{6.23} l'ordine \`e invariante
rispetto alle traslazioni e rotazioni, possiamo supporre che per
certi $\overline{b}>\underline{b}>0$:
\begin{equation}\label{6.26}
\ell=\{(0,x_2):\underline{b}\leq{x_2}\leq{\overline{b}}\},
\end{equation}
\begin{equation}\label{6.27}
A\cap{\ell}=\{Q_1,Q_2,\ldots,Q_m\},
\end{equation}
\begin{equation}\label{6.28}
Q_j=(0,b_j)=\varphi(\tau_j),\quad \quad j=1,\ldots,m,\quad \tau_1<\ldots<\tau_m,
\end{equation}
dove $b_k\in{[\underline{b},\overline{b}]}$ per $k=1,\ldots,m$.
Per la simmetria rispetto all'origine e per il lemma precedente,
possiamo supporre che le orbite intersechino $\ell$ in verso
antiorario, cio\`e
\begin{equation}\label{6.29}
\varphi_1(P)=\varphi_1(0,x_2)<0,\quad \quad P=(0,x_2)\in{\ell}.
\end{equation}
La relazione \eqref{6.23} diventa
\begin{equation}\label{6.30}
b_1-b_2,\quad b_2-b_3,\quad \ldots,\quad b_{m-1}-b_m,
\end{equation}
che presentano lo stesso segno.

Si possono avere due possibilit\`a:
\begin{itemize}
\item[$\alpha$)] $b_1>b_2$;
\item[$\beta$)] $b_2>b_1$.
\end{itemize}

Consideriamo il primo caso. Indichiamo con $J$ la curva regolare
di Jordan formata dall'arco:
$$\widehat{Q_1Q_2}=\{x(t,\bar{x}):t_1\leq{t}\leq{t_2}\},$$
e del segmento $[Q_2Q_1]$. Per il teorema della curva di Jordan, $J$
divide il piano $\mathbb{R}^2$ in due componenti distinte, aventi
entrambe $J$ come frontiera, una delle quali \`e limitata e
l'altra no. Cio\`e
\begin{equation}\label{6.31}
\mathbb{R}^2\setminus{J}=D_{int}\cup{D_{ext}},\quad 
D_{int}\cap{D_{ext}}=\emptyset,
\end{equation}
dove $D_{int}$ \`e la componente interna limitata e $D_{ext}$ \`e la componente
esterna illimitata. Inoltre, risulta che per ogni curva di Jordan $S$ si ha
\begin{equation}\label{6.32}
S\cap{D_{int}}\neq{0},\quad S\cap{D_{ext}}\neq{0}\Rightarrow{S\cap{J}\neq{0}}.
\end{equation}
Dalla definizione di $t_1$, l'arco
$\{\varphi(t):\underline{t}\leq{t}\leq{t_1}\}$ non interseca
$\ell$. L'arco
$\{\varphi(t):t_2\leq{t}\leq{\overline{t}}\}$, per
l'unicit\`a delle soluzioni di \eqref{6.1}, non pu\`o intersecare l'arco
$\widehat{Q_1Q_2}$. E non pu\`o intersecare il segmento $[Q_2Q_1]$
per il lemma precedente. Ci rimane un'unica possibilit\`a: il punto
$Q_3$ deve essere contenuto in $D_{int}$, e, dunque, �$Q_2$ si
trova tra $Q_1$ e $Q_3$. Si procede di pari passo per $m>3$, fino
a quando si arriva alla conclusione \eqref{6.23}.

Se $Q_1=Q_2$, l'orbita $\gamma(\bar{x})$ e l'arco $\widehat{A}$ sono chiusi.
Se, per assurdo, $\gamma(\bar{x})$ \`e chiusa e
$\gamma(\bar{x})\cap{\ell}$ \`e costituita da almeno due
punti, allora gli argomenti utilizzati per la dimostrazione della
relazione \eqref{6.23} mostrano che $\gamma(\bar{x})$ non \`e chiusa,
e questa \`e una contraddizione.
\end{dimostrazione}

\begin{lemma}\label{lem:6.1.3}
Se $\gamma^{+}\cap{L(\gamma^{+})}\neq{\emptyset}$, allora
$\gamma^{+}$ \`e periodica e si ha
$$\gamma^{+}=L(\gamma^{+}).$$
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Sia
\begin{equation}\label{6.33}
P_1=\varphi(t_1)\in{\gamma^{+}\cap{L(\gamma^{+})}},\quad t_1>0,\quad 
\varphi(t)=x(t,x^0).
\end{equation}
Se $P_1$ \`e un punto critico, vale
$\gamma^{+}=L(\gamma^{+})=\{P_1\}$.

Supponiamo che $P_1$ sia
regolare. Per il lemma \ref{lem:6.1.1}, esiste un segmento trasversale
$\ell$ tale che $P_1\in{\ell}$. Poich\`e
$P_1\in{L(\gamma^{+})}$, dalla definizione di $L(\gamma^{+})$
segue che per ogni $\delta>0$ esiste $\widehat{t}$ tale che
\begin{equation}\label{6.34}
Q=\varphi(\widehat{t})\in{B_{\delta}(P_1)},\quad \widehat{t}>t_1+2.
\end{equation}
 Fissiamo $Q$. Sia $\varepsilon\in{]0,1[}$ e si prenda
$\delta$ tale che venga rispettata la parte iii) del lemma \ref{lem:6.1.1},
in modo che
\begin{equation}\label{6.35}
\widetilde{P}=\varphi(\widetilde{t})=x(\widetilde{t}-\widehat{t},
\varphi(\widehat{t}))=x(\widetilde{t}-\widehat{t},Q)\in{\ell
\cap{\gamma^{+}}\cap{B_{\delta}(P_1)}},
\end{equation}
dove $|\widetilde{t}-\widehat{t}|<\varepsilon<1$.

Supponiamo che $\widetilde{P}\neq{P_1}$. Allora l'arco
$\widehat{P_1\widetilde{P}}$, per il lemma precedente, interseca $\ell$ in
un numero finito di punti, pi\`u precisamente, i punti successivi di possibili
intersezioni con $\varphi(t)$, dove $t>\hbox{max}\{\widetilde{t},\widehat{t}\}$.
Di conseguenza, possiamo trovare un numero positivo $\mu$ tale che
\begin{equation}\label{6.36}
\|\varphi(t)-P_1\|\geq{\mu},\quad t>\hbox{max}\{\widetilde{t},\widehat{t}\}.
\end{equation}
Questo, per\`o, porta ad un assurdo, perch\'e
$P_1\in{L(\gamma^{+})}$. Quindi, $\widetilde{P}=P_1$ e $\gamma$
\`e periodica.
\end{dimostrazione}

Gli argomenti utilizzati nella dimostrazione precedente mostrano che se
$\ell$ \`e un segmento trasversale ed
$\ell\cap{L(\gamma^{+})}\neq{\emptyset}$,
allora $\ell\cap{L(\gamma^{+})}$ contiene un solo punto.

\begin{lemma}\label{lem:6.1.4}
Se $L(\gamma^{+})$ contiene un'orbita periodica $C$, allora
$C=L(\gamma^{+})$.
\end{lemma}

\begin{dimostrazione}
Supponiamo che $L(\gamma^{+})\setminus{C}\neq{\emptyset}$.
Poich\`e $L(\gamma^{+})$ \`e connesso e compatto,
$L(\gamma^{+})\setminus{C}$ non \`e un insieme chiuso, il che
implica l'esistenza di un punto $Q_0\in{C}$, che \`e un punto di
accumulazione per $L(\gamma^{+})\setminus{C}$. Sia $\ell$ un
segmento trasversale tale che $Q_0\in{\ell}$. Ricordando la
parte iii) del lemma \ref{lem:6.1.1}, possiamo trovare un
$\delta>0$, $\overline{t}\in{\mathbb{R}}$ e un punto
$$Q\in{B_{\delta}(Q_0)\cap{(L(\gamma^{+})\setminus{C})}},$$
tale che
\begin{equation}\label{6.37}
\overline{Q}=x(\overline{t},Q)\in{\ell}.
\end{equation}
Poich\`e $Q\in{L(\gamma^{+})}$, dall'invarianza di
$L(\gamma^{+})$ segue che l'orbita $\gamma(Q)$ \`e data da
$$\gamma(Q)=\{x(t,Q):t\in{\mathbb{R}}\}.$$
Dalla relazione \eqref{6.33} si deduce che $\overline{Q}\in{L(\gamma^{+})}$.
L'unicit\`a delle soluzioni di \eqref{6.1} e il fatto che $Q\neq{C}$
comportano
$$\gamma(Q)\cap{C}=\emptyset$$
e, in particolare, $\overline{Q}\neq{Q_0}$, e questo \`e assurdo.
Quindi, deve essere $C=L(\gamma^{+})$.
\end{dimostrazione}

Torniamo ora alla dimostrazione del \textbf{Teorema di
Poincar\'e-Bendixson}.

\begin{dimostrazione}
Se $\gamma^{+}$ \`e periodica, lo \`e anche $L(\gamma^{+})$.
Supponiamo che $\gamma^{+}$ non sia periodica. Per la limitatezza
di $\gamma^{+}$ e per il primo teorema \ref{th:PB1}segue che
$L(\gamma^{+})\neq{\emptyset}$. Sappiamo, inoltre, che
$L(\gamma^{+})$ \`e compatto e, per ipotesi, che tutti i suoi
punti sono regolari. Fissiamo $q_0\in{L(\gamma^{+})}$ e poniamo
\begin{equation}\label{6.38}
\gamma_0=\{x(t,Q):t\in{\mathbb{R}}\}.
\end{equation}
Dall'invarianza di $L(\gamma^{+})$ segue che
$\gamma_0\subset{L(\gamma^{+})}$.
 Fissiamo $P_0\in{L(\gamma_0^{+})}$. Sia $\ell$ un segmento trasversale
passante per $P_0$. L'inclusione $L(\gamma_0^{+})\subset{L(\gamma^{+})}$
comporta
\begin{equation}\label{6.39}
\ell\cap{L(\gamma^{+})}=\{P_0\}.
\end{equation}
D'altra parte, poich\`e $P_0\in{L(\gamma_0^{+})}$, la parte
iii) del lemma \ref{lem:6.1.1} implica che
$\gamma_0^{+}\cap{\ell}\neq{\emptyset}$. Quindi, tenendo conto che
$\gamma_0^{+}\subset{L(\gamma^{+})}$ e la relazione \eqref{6.39}
si conclude che $\gamma_0^{+}\cap{\ell}=\{P_0\}$. Per il Lemma
\ref{lem:6.1.3} e poich\`e $P_0\in{\gamma_0^{+}\cap{L(\gamma_0^{+})}}$,
$\gamma_0^{+}$ (e quindi $\gamma_0$) \`e periodica.

Essendo $\gamma_0=L(\gamma_0^{+})$ e usando il lemma \ref{lem:6.1.4}, si
conclude che $\gamma_0=L(\gamma^{+})$.
\end{dimostrazione}

\section{Applicazioni ai sistemi non lineari}

\textbf{1. Biforcazione di Hopf.}
Allo studio degli stati di equilibrio \`e applicabile la teoria di Henri
Poincar\'e [1854-1912] sulla riorganizzazione delle curve in caso di
biforcazioni per famiglie generiche di sistemi ad un parametro\footnote{Per un
numero maggiore di parametri compaiono singolarit\`a pi\`u complesse 
(singolarit\`a di Whitney).} Quando il parametro del sistema si avvicina ad un
valore di biforcazione, uno stato di equilibrio muore, combinandosi in un altro,
o viceversa. Tra i due stati che nascono o muoiono insieme, uno \`e stabile e
l'altro \`e instabile. Al momento del cambiamento, entrambi gli stati di
equilibrio si muovono con velocit\`a infinita. Quindi, dato uno stato di
equilibrio stabile rappresentante le condizioni di qualche sistema reale (di
economia, ecologia, fisica, ecc.), se questo si incontra e collide con uno stato
di equilibrio instabile, si trasforma in uno stato del tutto diverso. Al variare
del parametro, la condizione di equilibrio, nell'intorno considerato, scompare
improvvisamente. La perdita di stabilit\`a di uno stato di equilibrio di un
sistema, al variare di un parametro, pu\`o avvenire nei due seguenti modi:
\begin{itemize}
\item[a)] al variare del parametro, lo
stato di equilibrio genera un ciclo limite (cio\`e, un'orbita
chiusa ed isolata sulla quale, almeno localmente, le altre
traiettorie si avvolgono a spirale), ed il punto di equilibrio
diventa instabile.
\item[b)] Un ciclo limite instabile collassa in uno
stato di equilibrio: il dominio di attrazione si riduce a zero
insieme con il ciclo, che, infine, scompare, trasferendo la sua
instabilit\`a allo stato di equilibrio.
\end{itemize}
Nel primo caso, dopo la perdita di stabilit\`a, si ha un fenomeno oscillatorio
periodico e l'ampiezza di oscillazione \`e proporzionale alla radice quadrata
della criticit\`a, cio\`e la differenza tra il valore del
parametro e il valore critico in cui l'equilibrio perde la
stabilit\`a. Poich\`e questo comportamento oscillatorio differisce
di poco dallo stato di equilibrio, la perdita di stabilit\`a \`e
detta \emph{soffice}. Nel secondo caso, invece, la perdita di
stabilit\`a \`e detta \emph{dura}, perch\'e, prima che si
verifichi, il dominio di attrazione diventa piccolo e le
perturbazioni generatesi tendono a portar via il sistema da questo
dominio, ancor prima che il dominio stesso sia sparito.

Le nuove condizioni rappresentanti il sistema, dopo la perdita di
stabilit\`a prendono il nome di \emph{attrattori}, dal momento che
diventano dei centri di attrazione per stati iniziali
temporanei. Nei lavori della teoria delle catastrofi e delle
singolarit\`a, le graduali perdite di stabilit\`a sono chiamate
biforcazioni di Hopf, di cui mostriamo un'applicazione qui di seguito.

Determiniamo il ritratto delle fasi del sistema
\begin{equation}\label{ritratto}
\begin{cases}\dot{x}=y+x(a-x^{2}-y^{2}),\\
\dot{y}=-x+y(a-x^{2}-y^{2}),\end{cases}
\end{equation}
al variare di a in $\mathbb{R}$. Troviamo il punto critico del sistema
$$\begin{cases}\dot{x}=0,\\ \dot{y}=0\end{cases}\!\rightsquigarrow
\begin{cases}y+x(a-x^{2}-y^2)=0,\\ -x+y(a-x^2-y^2)=0\end{cases}
\!\rightsquigarrow
\begin{cases}y=-x(a-x^2-y^2),\\ -x-x(a-x^2-y^2)^2=0\end{cases}$$
e, dunque, $(0,0)$ \`e l'unico punto critico del sistema.

Passando alle coordinate polari in $\mathbb{R}^2$:
$$\begin{cases}x=\varrho\cos{\theta},\\ y=\rho\sin{\theta}\end{cases}\;
0\leq{\theta}\leq{2\pi},\quad 0\leq{\rho}\leq{1},$$
il sistema diventa
$$\begin{cases}\dot{\rho}=\rho(a-\rho^2),\\ \dot{\theta}=-1.\end{cases}$$
Una traiettoria particolare \`e data da $\rho=0$, che rappresenta l'origine. Se
$\rho=\sqrt{a}$, dove $a>0$, essa rappresenta la circonferenza con centro
nell'origine e raggio $\sqrt{a}$.

Le soluzioni del sistema sono
\begin{itemize}
\item $a<0\quad \begin{cases}\rho=\sqrt{-a}(c_1e^{-2at}-1)^{-\frac{1}{2}},\\
\theta=-t+c_2\end{cases}\quad c_1,c_2\in{\mathbb{R}}.$
\item $a=0\quad \begin{cases}\rho=(2t+c_1)^{-\frac{1}{2}},\\
\theta=-t+c_2\end{cases}\quad c_1,c_2\in{\mathbb{R}}.$
\item $a>0\quad \begin{cases}\rho=\sqrt{a}(1+c_1e^{-2at})^{-\frac{1}{2}},\\
\theta=-t+c_2\end{cases}\quad c_1,c_2\in{\mathbb{R}}.$
\end{itemize}

Studiamo ora la stabilit\`a. La matrice jacobiana del sistema \eqref{ritratto}
\`e
$$\begin{pmatrix}a&1\\-1&a\end{pmatrix}.$$
Si ha
$$\det(A)=a^2+1,\quad\tr A=2a,\quad\Delta=(\tr A)^2-4\det(A)=-4<0.$$
Risulta, pertanto, che se $a<0$, l'origine \`e un fuoco stabile,
con bacino di attrazione $\mathbb{R}^2$. Se $a=0$, l'origine \`e
un centro, che, degenerando nella spirale del fuoco instabile al
crescere di $a$, diventa un ciclo limite. Se $a>0$, $(0,0)$ \`e un
fuoco instabile. Le orbite delle soluzioni sono delle spirali che
per $t\rightarrow+{\infty}$, tendono indefinitamente alla
circonferenza di equazione $x^2+y^2=a$.

Pi\`u generalmente, consideriamo il sistema
$$\begin{cases}\dot{x}=y + \varepsilon xf(x^2+y^2),\\
\dot{y}=-x + \varepsilon y f(x^2+y^2),\end{cases}$$
dove $f\in C^k([0,+\infty[: \R)$, $k\geq 1$, $f(0)=a$ ed
$\varepsilon$ \`e un piccolo parametro reale.
\`E facile verificare che l'unico punto critico del sistema risulta essere
l'origine $(0,0)$. Passando alle coordinate
polari in $\mathbb{R}^2$, otteniamo
$$\begin{cases}\dot{\rho}=\rho f(\rho^2),\\ \dot{\theta}=-1.\end{cases}$$
Poniamo
$$N_f=\{z:z\geq 0, \, z f(z)=0\}.$$
Dunque, se $z\in N_f$ e $z>0$ allora il sistema
precedente ammette una soluzione periodica, cio\`e un ciclo
definito dalla relazione $\rho^2 = x^2+y^2= z$, ovvero la
circonferenza con centro $(0,0)$ e raggio $\sqrt{z}$ se
$\varepsilon\neq 0$, giacch\'e $\varepsilon=0$ rappresenta il
valore di biforcazione.

Supponiamo che $N_f$ sia finito, cio\`e
$$N_f=\{z_0, z_1, \ldots, z_N \}, \qquad 0=z_0 < \ldots < z_N,$$
per un certo numero naturale $N$.
In tal caso il sistema ammette esattamente $N$
cicli definiti dalle circonferenze $\rho^2 = x^2+y^2 = z_j$, $j=1,
\ldots, N$. Se $N=0$ non esistono cicli. Il ritratto delle fasi
dipende dal segno di $\varepsilon$ e di $f(z)$ negli intervalli
$(z_j, z_{j+1})$, dove $j=0,\ldots, N-1$, se $N\geq 1$.
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.2}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{hopf}}}
\centering\resizebox{.65\textwidth}{!}{\includegraphics{hopf}}
\caption{Biforcazione di Hopf con due cicli.}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.3}
%\centerline{\epsfxsize=8cm\mbox{\epsfbox{biforcazionecentro}}}
\centering\resizebox{.65\textwidth}{!}{\includegraphics{biforcazionecentro}}
\caption{Cicli che si stringono intorno all'origine.}
\end{figure}
\bigskip

\textbf{2. Equazione di Van der Pol.} Consideriamo l'equazione
\begin{equation}\label{6.40}
\ddot{y}+\varepsilon(y^2-1)\dot{y}+y=0\quad \quad (\varepsilon>0),
\end{equation}
che pu\`o essere pensata come perturbazione dell'oscillatore armonico
$\ddot{y}+y=0$, mediante il termine $\varepsilon (y^2-1)$. Considerando
l'energia
$$E(y,\dot{y})=\frac{(\dot{y}){^2}+y^2}{2},$$
si vede che
\begin{equation}\label{6.41}
\tfrac{d}{dt}E(y(t),\dot{y}(t))=\dot{y}\ddot{y}+y\dot{y}
=\dot{y}[\varepsilon(1-y^2)\dot{y}-y]+y\dot{y}=\varepsilon(1-y^2)(\dot{y}){^2}.
\end{equation}
Quest'ultima espressione mostra come il sistema dissipi energia quando $|y|>1$,
mentre fornisce energia quando $|y|<1$.
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.4}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{vanderpol_ciclo}}
\caption{Orbite nel piano delle fasi per l'equazione di Van der Pol (Balthasar
van der Pol [1889-1959]) con $\varepsilon=2$. La linea spessa indica l'unica
orbita chiusa~\cite{ps, bps}.}
\end{figure}

Seguendo un suggerimento di Li\'enard [1869-1958], il sistema \eqref{6.40}
diventa
\begin{equation}\label{6.42}
\begin{cases}\dot{y}=z-\varepsilon(\tfrac{1}{3}y^3-y),\\ \dot{z}=-y.\end{cases}
\end{equation}
La corrispondenza $(y,\dot{y})\leftrightarrow{(y,z)}$ tra i punti dei
due piani \`e biunivoca e regolare, cosicch\'e punti di equilibrio
ed orbite si corrispondono nei due piani. Il punto di equilibrio
\`e $(0,0)$. Provando a linearizzare, otteniamo
\begin{equation}\label{6.43}
\begin{cases}\dot{y}=\varepsilon y+z,\\ \dot{z}=-y.\end{cases}
\end{equation}
Al precedente sistema \`e associata la matrice
$A=\left(\begin{smallmatrix}\varepsilon&1\\-1 &0\end{smallmatrix}\right)$.
Poich\`e $\tr A=\varepsilon>0$, $\det(A)=1>0$, $\Delta=(\tr A)^2-4\det(A)<0$,
per $\varepsilon\in(0,2)$ l'origine \`e un fuoco instabile e le orbite che
partono da un suo intorno si allontanano da essa muovendosi su una spirale.

\begin{figure}[ht]\label{fig:6.5}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{vanderpol}}
\caption{Dimostrazione dell'esistenza di una soluzione periodica
del\-l'e\-qua\-zio\-ne di Van der Pol \cite{ps}.}
\end{figure}
Dimostriamo ora che esiste un unico ciclo stabile, ossia
che ogni traiettoria diversa da $(0,0)$ tende, per
$t\rightarrow{+\infty}$, ad avvolgersi su di esso. Consideriamo
il campo vettoriale associato al sistema \eqref{6.43}:
$$[z-F(y)]\textbf{i}-y\textbf{j}\quad \quad \quad (F(y)=\varepsilon
(\tfrac{1}{3}y^3-y)).$$
L'equazione differenziale della famiglia di traiettorie \`e data da
\begin{equation}\label{6.44}
\frac{dz}{dy}=-\frac{y}{z-F(y)}.
\end{equation}
%Ora si osservi che per $r=\sqrt{y^2+z^2}$
%$$r'=2(yy'+zz')=2y[z-F(y)]-2zy=-2yF(y)\ge 0,\qquad|y|\le\sqrt{3}.$$
La sostituzione $z\rightarrow{-z}$ e $y\rightarrow{-y}$ lascia invariata
l'equazione \eqref{6.44}, essendo la funzione $F(y)$ dispari. Facendo partire
l'orbita da un punto $P=(0,\xi)$, dopo un tempo finito essa
interseca la cubica $z=F(y)$ in un punto $T$. Mentre la variabile $y$ decresce,
l'orbita interseca l'asse $z$ in un punto $S=(0,\eta(\xi))$, dove $\eta(\xi)>0$.
Ora, se esiste $\xi>0$ tale che $\eta(\xi)=\xi$, allora si ottiene
simmetricamente rispetto all'origine un'altra orbita che si salda con la
precedente, dando luogo ad una nuova orbita chiusa.
Poich\`e tutte le orbite chiuse si avvolgono intorno
all'origine, i punti fissi dell'applicazione $\xi\rightarrow{\eta(\xi)}$ sono
in corrispondenza biunivoca con le orbite chiuse.

Dimostriamo l'unicit\`a di questi punti fissi.
Consideriamo la funzione di Liapunov $V(y,z)=y^2+z^2$ e chiamiamo $\gamma_{\xi}$
il tratto di orbita compreso tra $(0,\xi)$ e $(0,-\eta(\xi))$, e $\tau$ il
relativo tempo di percorrenza. Abbiamo
\begin{align}
\delta(\xi)=\eta(\xi)^2-\xi^2&=\int_{0}^{\tau}\frac{dV}{dt}dt
=2\int_{0}^{\tau}(y\dot{y}+z\dot{z})dt=\nonumber\\
&=-2\int_{0}^{\tau}yF(y)dt=2\int_{\gamma_{\xi}}F(y)dz.\label{6.45}
\end{align}

Proviamo le seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[i)] $\delta(\xi)>0$ nei punti vicino l'origine;
\item[ii)] $\delta(\xi)$ \`e strettamente decrescente;
\item[iii)] $\delta(\xi)\rightarrow{-\infty}$ per $\xi\rightarrow{+\infty}$.
\end{itemize}

Il verificarsi di queste propriet\`a ci assicura l'esistenza di un unico punto
$\overline{\xi}$ tale che $\delta(\overline{\xi})=0$, cio\`e
$\overline{\xi}=\eta(\overline{\xi})$.
\begin{itemize}
\item[i)] Se $\xi$ \`e nelle vicinanze dell'origine, il punto $T$ si trova nel
tratto in cui $y>0$ e la funzione $z=F(y)$ \`e negativa. Dalla \eqref{6.45}
segue che $\delta(\xi)>0$.
\item[ii)] Usando l'espressione \eqref{6.44}, possiamo scrivere
\begin{equation}\label{6.46}
 F(y)dz=-\frac{yF(y)}{z-F(y)}dy.
\end{equation}
Inoltre:
\begin{equation}\label{6.47}
\int_{\gamma_{\xi}}F(y)dz=\int_{\widehat{PQ}}\ldots+\int_{\widehat{QR}}\ldots
+\int_{\widehat{RS}}.
\end{equation}
Al crescere di $\xi$, $\widehat{PQ}$ aumenta di quota, mentre $\widehat{RS}$ si
abbassa. Cio\`e $z-F(y)$ aumenta in modulo in questi tratti, mentre $yF(y)$
resta invariato e negativo. E poich\`e $F(y)dz>0$, l'espressione \eqref{6.47}
deve diminuire.
Sul tratto $\widehat{QR}$, $F$ \`e positiva e strettamente crescente e $dz<0$.
Dunque, al crescere di $\xi$, l'integrale $\int_{\widehat{QR}}F(y)dz$
diminuisce.
\item[iii)] Consideriamo il tratto di orbita $\widehat{QR}$. Si ha
\begin{equation}\label{6.48}
\int_{\widehat{QR}}F(y)dz\leq{\int_{\widehat{LN}}F(y)dz}
\leq{F(a)\int_{\widehat{LN}}dz}.
\end{equation}
Poich\`e l'integrale $\int_{\widehat{LN}}dz=$(la differenza tra l'ordinata di
$N$ e l'ordinata di $L$)$ \rightarrow{-\infty}$, quando 
$\xi\rightarrow{+\infty}$, segue la propriet\`a iii).
\end{itemize}
\bigskip

\textbf{3. Modello logistico}. Partiamo dalla seguente equazione alle derivate
parziali, nota come \emph{equazione di Burgers}:
\begin{equation}\label{6.49}
u_t=u_{xx}+uu_x.
\end{equation}
Ponendo $u(x,t)=v(x+ct)$, dove $c>0$, si ottiene
$$cv'=v''+vv',$$
che possiamo scrivere anche nel seguente modo:
$$(cv)'=(v'+\frac{v^2}{2})'.$$
Da quest'ultima equazione si ottiene
$$cv=v'+\frac{v^2}{2},$$
ossia
$$v'=cv(1-\frac{v}{2c}).$$
La soluzione del corrispondente problema di Cauchy \`e la seguente:
$$v(t)=\frac{2cv(0)}{[1-e^{-4c^3t}]v(0)+2ce^{-4c^3t}}.$$
e le due soluzioni costanti $v=0$ e $v=2c$. Si vede subito che $v(t)\to2c$ per
$v(0)\neq0$.  Quindi il punto di equilibrio $2c$ \`e asintoticamente stabile
e quello $v=0$ \`e instabile.

In modo analogo discutiamo l'equazione differenziale non lineare del primo
ordine del tipo
\begin{equation}\label{6.50}
\dot{y}=ay(1-by),\qquad a,b>0.
\end{equation}
Le rette $y=0$ e $y=(1/b)$ sono le due soluzioni costanti. Le altre
soluzioni si trovano integrando nel seguente modo:
$$\int\frac{dy}{y(1-by)}=\int a\,dt\rightsquigarrow
\log\left|\frac{y}{1-by}\right|=at+c,$$
ossia
$$y(t)=\frac{y(0)}{by(0)+[1-by(0)]e^{-at}}.$$

Questa espressione \`e la soluzione del modello logistico proposto nel 1845 dal
matematico Pierre Verhulst (1804-1849). Lo scopo di questo modello \`e la
determinazione del tasso di crescita relativo della popolazione, nell'ipotesi in
cui gli unici fattori di evoluzione siano la fertilit\`a e la mortalit\`a.
Siano, dunque, $N(t)$ il numero di individui presenti all'istante $t$; $\lambda$
il numero di neonati per individuo nell'unit\`a di tempo; $\mu$ la percentuale
di individui che muore nell'unit\`a di tempo. Indichiamo, inoltre, con
$\varepsilon=\lambda-\mu$ il potenziale biologico della popolazione e con $k$ le
risorse dell'ambiente. La legge di evoluzione di Verhulst \`e data
dall'equazione \eqref{6.50}, in cui si pone $a=\varepsilon$, $b=(1/k)$ e $y=N$,
cio\`e
\begin{equation}\label{6.51}
N'(t)=\varepsilon N(t)\left(1-\frac{N(t)}{k}\right),\qquad\varepsilon,k>0.
\end{equation}
Il termine $\varepsilon N(t)$, che modellizza la crescita esponenziale della
popolazione [secondo la legge di Malthus (1798)], \`e mitigato dal termine
$-\frac{\varepsilon}{k}N(t)^2$, che descrive la competizione all'interno
della populazione. La soluzione \`e, dunque, data da
\begin{equation}\label{6.52}
N(t)=\frac{kN(0)}{N(0)[1-e^{-\varepsilon t}]+ke^{-\varepsilon t}}.
\end{equation}
Per $t \rightarrow{+\infty}$, $N(t)\rightarrow{k}$, tranne nel caso $N(0)=0$.
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.6}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{verhulst1}\qquad
\includegraphics{verhulst2}}
\caption{Le soluzioni $N(t)$ del modello di Verhulst per $N(0)=2$, $k=1$ e
$\varepsilon=1$ [grafico sinistro] e per $N(0)=1$, $k=2$ e $\varepsilon=1$
[grafico destro].}
\end{figure}
\bigskip

{\bf 4. Oscillatore di Lorenz}. Consideriamo il sistema dinamico
\begin{subequations}\label{6.53}
\begin{align}
\dot{x}(t)&=\sigma(y-x),\label{6.53a}\\
\dot{y}(t)&=x(\rho-z)-y,\label{6.53b}\\
\dot{z}(t)&=xy-\beta z,\label{6.53c}
\end{align}
\end{subequations}
dove $\sigma>0$ si dice numero di Prandtl, $\rho>0$ si dice numero di Rayleigh
e $\beta>0$ \`e una terza costante fisica positiva. L'oscillatore di Lorenz
\cite[Cap.~14]{V} \`e un sistema dinamico di flusso caotico. Tale sistema fu
proposto da Edward Lorenz nel 1963, semplificando le equazioni di Boussinesq
che descrivono le convezioni nell'atmosfera sotto condizioni di riscaldamento da
sotto e raffreddamento da sopra.

L'oscillatore di Lorenz ha alcune propriet\`a elementari:
\begin{itemize}
\item[a.] Se $(-x,-y,z)$ \`e soluzione, lo \`e anche $(x,y,z)$.
\item[b.] Per $x=y=0$ le equazioni \eqref{6.53a} e \eqref{6.53b} diventano
tautologie ($0=0$), mentre $\dot{z}(t)=-\beta z$. Quindi $x=y=0$ e
$z(t)=z(0)e^{-\beta t}$ \`e soluzione delle \eqref{6.53}.
\item[c.] Vale la seguente disuguaglianza:
$$\nabla\cdot(\sigma[y-x],x[\rho-z]-y,xy-\beta z)=-(\sigma+1+\beta)<0.$$
Dunque, considerando un volume iniziale $v(0)$ che evolve nel tempo,
all'istante $t$ il volume $v(t)$ \`e descritto dalla seguente legge:
\begin{equation}\label{6.54}
\dot{v}(t)=-(\sigma+1+\beta)v(t).
\end{equation}
In altre parole, il volume $v(t)$ \`e decrescente nel tempo $t$ e quindi il
flusso descritto dalle \eqref{6.53} \`e dissipativo. La \eqref{6.54} implica che
qualunque attrattore del sistema dinamico \eqref{6.53} ha volume zero.
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]\label{fig:6.7}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{Lorentz_x}}
\caption{$x(t)$ per $\sigma=10$, $\beta=(8/3)$ e $\rho=22.4$. Osserviamo che
$1<\rho<\rho_H\approx24.74$ e $x(t)\to\sqrt{\beta(\rho-1)}\approx7.55$ (Vedi
\cite[Fig.~14.2]{V}).}
\end{figure}
Calcoliamo ora i punti di equilibrio $(X,Y,Z)$ per cui
$\dot{x}(t)=\dot{y}(t)=\dot{z}(t)=0$. In tal caso $X=Y$. Quindi $X=Y=Z=0$
oppure $Z=\rho-1$ e $X^2=Y^2=\beta(\rho-1)$. In altre parole, per $0<\rho\le1$
il punto $(0,0,0)$ \`e l'unico punto di equilibrio. Per $\rho>1$ abbiamo
inoltre i due punti $(\pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\rho-1)$.
La matrice Jacobiana
$$\begin{pmatrix}-\sigma&\sigma&0\\ \rho-z&-1&-x\\ y&x&-\beta\end{pmatrix}$$
ha tre autovalori negativi per $x=y=z=0$ se $0<\rho<1$. Di conseguenza,
l'origine \`e un punto di equilibrio asintoticamente stabile delle \eqref{6.53}
se $0<\rho<1$. Per $\rho=1$ gli autovalori sono $-\beta$, $-(\sigma+1)$ e $0$
e quindi l'origine \`e un punto di equilibrio stabile se $\rho=1$. Per $\rho>1$
la matrice Jacobiana per $x=y=z=0$ ha due autovalori negativi e uno positivo, e
quindi l'origine \`e un punto di equilibrio instabile se $\rho>1$.

Negli altri due punti di equilibrio il polinomio caratteristico della matrice
Jacobiana ha la forma
$$p(z)\stackrel{\text{\tiny def}}{=}z^3+(\sigma+1+\beta)z^2+\beta(\sigma+\rho)z
+2\sigma\beta(\rho-1).$$
 Fattorizzando il polinomio, $p(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$, si scopre che
\begin{subequations}\label{6.55}
\begin{align}
z_1+z_2+z_3&=-(\sigma+1+\beta)<0,\label{6.55a}\\
z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3&=\beta(\sigma+\rho)>0,\label{6.55b}\\
z_1z_2z_3&=-2\sigma\beta(\rho-1),\label{6.55c}
\end{align}
\end{subequations}
quest'ultimo se $\rho>1$. Inoltre, $p(z)>0$ per $z\ge0$; di conseguenza, se ci
sono zeri con parte reale non negativa, essi devono per forza essere due
complessi coniugati pi\`u uno zero negativo. Se, per un opportuno
$\rho=\rho_H>1$, due degli zeri sono uguali a $z_{1,2}=\pm i\omega$ con
$\omega>0$, allora il terzo zero deve valere $z_3=-(\sigma+1+\beta)$, poich\`e
la loro somma vale $-(\sigma+1+\beta)$ [vedi la \eqref{6.55a}]. Dalle
\eqref{6.55a}-\eqref{6.55b} segue in tal caso
$$z_1z_2=\omega^2=\dfrac{2\sigma\beta(\rho_H-1)}{\sigma+1+\beta}
=\beta(\sigma+\rho_H),$$
e quindi $\rho_H=[\sigma(\sigma+\beta+3)/(\sigma-\beta-1)]$. Di conseguenza,
per $\rho=\rho_H$ c'\`e una biforcazione di Hopf. Per $\rho=1$ gli zeri sono
$\{0,-\beta,-(\sigma+1)\}$, mentre al crescere di $\rho$ gli zeri si cambiano
in modo continuo e hanno un prodotto $z_1z_2z_3<0$. Ci\`o implica che
per $$1<\rho<\rho_H\stackrel{\text{\tiny def}}{=}
\dfrac{\sigma(\sigma+\beta+3)}{\sigma-\beta-1},$$
tutti e tre zeri del polinomio hanno parte reale negativa e quindi i due punti
di equilibrio sono ambedue asintoticamente stabili. Per $\rho>\rho_H$ il
polinomio ha un autovalore negativo e due autovalori con parti reali positivi;
in tal caso i due punti di equilibrio sono instabili.\footnote{Quest'ultimo
fatto si pu\`o dimostrare usando il Teorema di Routh-Hurwicz
\cite[Sec.~XV.6]{G}.}
Infatti, dividendo il polinomio per $\rho^3$ si ottiene
$$w^3+\underbrace{\frac{\sigma+1+\beta}{\rho}}_{\to 0,\ \rho\to+\infty}w^2
+\underbrace{\frac{\beta(\sigma+\rho)}{\rho^2}}_{\to 0,\ \rho\to+\infty}w
+\underbrace{2\sigma\beta\left(1-\frac{1}{\rho}\right)}_{\to2\sigma\beta,\
\rho\to+\infty},$$
dove $w=(z/\rho)$. Quindi per $\rho\to+\infty$ gli zeri di $p(z)$ si comportano
asintoticamente come
$$-\rho\,\sqrt[3]{2\sigma\beta}<0,\qquad\sqrt[3]{2\sigma\beta}\rho
\left\{\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right\},$$
cio\`e per $\rho$ abbastanza grande ci sono due zeri complessi coniugati con
parte reale positiva e uno zero negativo. Siccome, al crescere di $\rho$, gli
zeri possono attraversare l'asse immaginario soltanto per $\rho=\rho_H$, segue
che per $\rho>\rho_H$ ci sono due zeri complessi coniugati con parte reale
positiva e uno zero negativo.

Consideriamo ora la funzione di Liapunov
\begin{equation}\label{6.56}
H(x,y,z)=\tfrac{1}{2}\left(\rho x^2+\sigma y^2+\sigma(z-2\rho)^2\right).
\end{equation}
In tal caso
\begin{align*}
\dot{H}(t)&=\rho x\dot{x}+\sigma y\dot{y}+\sigma(z-2\rho)\dot{z}\\
&=\rho x[\sigma(y-x)]+\sigma y[x(\rho-z)-y]+\sigma(z-2\rho)[xy-\beta z]\\
&=-\sigma\left\{\rho x^2+y^2+\beta(z-\rho)^2-\beta\rho^2\right\}\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
&=-\sigma\beta\rho^2\left\{\left(\dfrac{x}{\sqrt{\rho\beta}}\right)^2
+\left(\dfrac{y}{\rho\sqrt{\beta}}\right)^2+\left(\dfrac{z-\rho}{\rho}\right)^2
-1\right\}.
\end{align*}
Sia $m$ il massimo della funzione di Liapunov $H$ nell'ellissoide
\begin{align*}
E&=\left\{(x,y,z)\in\R^3:\left(\dfrac{x}{\sqrt{\rho\beta}}\right)^2
+\left(\dfrac{y}{\rho\sqrt{\beta}}\right)^2+\left(\dfrac{z-\rho}{\rho}\right)^2
\le 1\right\}\\ &=\{(x,y,z)\in\R^3:\dot{H}(t)\ge 0\}.
\end{align*}
Un tale massimo viene assunto sulla frontiera $\partial E$.\footnote{Nell'unico
punto in $\R^3$ in cui si annulla il gradiente della $H$, cio\`e in
$(0,0,2\rho)$, la matrice Hessiana ha tre autovalori positivi. Quindi quel punto
critico \`e il minimo assoluto della $H$ in $E$. Per esercizio si verifichi che
il minimo assunto nell'origine \`e $m=2\sigma\rho^2$.} Partendo dal punto
iniziale $\vec{x}(0)$ con $H(\vec{x}(0))>m$ [cio\`e, $\vec{x}(0)\notin E$], il
valore della $H$ deve scendere lungo l'orbita. Ad un opportuno istante $t_0>0$
l'orbita attraversa la frontiera dell'ellissoide $E$ e da quel momento in poi
l'orbita ci resta dentro. In altre parole, il flusso ha un attrattore (di volume
zero) che si trova all'interno dell'ellissoide $E$ (ma pu\`o avere una struttura
estremamente complicata).
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.8}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{Lorentz_xyz}}
\caption{$\vec{x}(t)$ per $\sigma=10$, $\beta=(8/3)$ e $\rho=28$. Osserviamo che
$\rho>\rho_H\approx24.74$ e che $\vec{x}(t)$ si comporta in modo caotico (Vedi
\cite[Fig.~14.1]{V}). La stessa figura, a colore, si trova in Wikipedia
(inglese) sotto la voce Lorenz attractor.}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]\label{fig:6.9}
\centering\resizebox{.95\textwidth}{!}{\includegraphics{lorentz}}
\caption{L'attrattore di Lorenz \cite{gl}.}
\end{figure}
