%February 13, 2013

\chapter{Frattali}

\section{Insieme di Cantor e le sue varianti}

Il frattale prototipico \`e l'{\it insieme di Cantor}.\footnote{Pubblicato da
Georg Cantor [1845--1918] nel 1883. Scoperto prima da Henry John Stephen Smith
[1826--1883] nel 1874.} Questo sottoinsieme dell'intervallo $[0,1]$ viene
costruito nel seguente modo:
\begin{align*}
K_0&=[0,1],\\
K_1&=[0,\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},1],\\
K_2&=[0,\tfrac{1}{9}]\cup[\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{3}]
\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{9}]\cup[\tfrac{8}{9},1],\\
K_3&=[0,\tfrac{1}{27}]\cup[\tfrac{2}{27},\tfrac{1}{9}]
\cup[\tfrac{2}{9},\tfrac{7}{27}]\cup[\tfrac{8}{27},\tfrac{1}{3}]
\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{19}{27}]\cup[\tfrac{20}{27},\tfrac{7}{9}]
\cup[\tfrac{8}{9},\tfrac{25}{27}]\cup[\tfrac{26}{27},1],
\end{align*}
ecc. Quindi $K_n$ \`e l'unione disgiunta di $2^n$ sottointervalli di $[0,1]$,
tutti di lunghezza $(\tfrac{1}{3})^n$. Dunque la misura di $K_n$ vale
$(\tfrac{2}{3})^n$. Se $K_n$ \`e l'unione degli intervalli $[a_j,b_j]$, allora
$K_{n+1}$ \`e l'unione degli intervalli
$$\left[a_j,\tfrac{2}{3}a_j+\tfrac{1}{3}b_j\right]
\cup\left[a_j,\tfrac{1}{3}a_j+\tfrac{2}{3}b_j\right].$$
In altre parole, da ogni intervallo costituente di $K_n$ si rimuove esattamente
la sua terza parte centrata per ottenere due intervalli costituenti di
$K_{n+1}$. \`E chiaro che
$$[0,1]=K_0\supset K_1\supset K_2\supset K_3\supset\ldots\supset K_n\supset
K_{n+1}\supset\ldots,$$
cio\`e gli insiemi $K_n$ costituiscono una successione decrescente. La sua
intersezione, $K$, non \`e vuota (poich\`e contiene gli estremi di tutti
i sottointervalli costituenti di tutti i $K_n$) e si chiama l'insieme di
Cantor. Ovviamente, la misura di $K$ \`e minore o uguale a $(\tfrac{2}{3})^n$
per ogni $n=1,2,3,\ldots$, quindi l'insieme di Cantor ha misura uguale a zero.

Ogni numero in $[0,1]$ pu\`o essere rappresentato nel sistemo ternario nella
forma
$$x=0,d_1d_2d_3d_4\ldots=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{d_n}{3^n},$$
dove $d_n\in\{0,1,2\}$ per ogni $n=1,2,3,\ldots$. La non unicit\`a dello
sviluppo ternario risulta evidente dalle seguenti rappresentazioni ternarie
dello stesso numero:
\begin{equation}\label{7.1}
x\!=\!\begin{cases}
0,d_1d_2\ldots d_{m-1}d_m\,00000\ldots=\ds\sum_{n=1}^m\,\dfrac{d_n}{3^n},\\
0,d_1d_2\ldots d_{m-1}(d_m-1)\,2222\ldots=\ds\sum_{n=1}^{m-1}\,\dfrac{d_n}{3^n}
\!+\!\dfrac{d_m-1}{3^m}\!+\!\ds\sum_{n=m+1}^\infty\,\dfrac{2}{3^n},\end{cases}
\end{equation}
dove $d_m\in\{1,2\}$. In tal caso $K_1$ consiste di tutti gli $x\in[0,1]$ con
primo "decimale" $d_1\in\{0,2\}$. L'insieme $K_2$ consiste di tutti gli
$x\in[0,1]$ con primi due "decimali" $d_1,d_2\in\{0,2\}$, ecc. L'insieme
$K_n$ consiste di tutti gli $x\in[0,1]$ con primi $n$ "decimali"
$d_1,\ldots,d_n\in\{0,2\}$. Di conseguenza, l'insieme di Cantor consiste di
tutti per cui $x\in[0,1]$ per cui nello sviluppo ternario manca la cifra $1$.
I numeri con rappresentazione ternaria ambigua nel senso della \eqref{7.1} sono
esattamente gli estremi degli intervalli che costituiscono gli insiemi $K_n$.

L'insieme di Cantor non \`e numerabile, cio\`e esso non pu\`o essere messo in
corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. Consideriamo la
funzione $\phi$ che associa al numero (ternario) $x$ il numero (binario)
$\phi(x)$ ottenuto cambiando la cifra ternaria $2$ nella cifra binaria $1$ e la
cifra ternaria $0$ nella binario $0$. Cio\`e, sia
$$x=0,d_1d_2d_3d_4\ldots=\sum_{n=1}^\infty\,\frac{d_n}{3^n}\in K,$$
dove $d_n=0$ o $d_n=2$ per $n=1,2,3,\ldots$, allora, ponendo
$$\phi(x)=\sum_{n=1}^\infty\,\dfrac{\tfrac{1}{2}d_n}{2^n},$$
otteniamo il corrispondente numero $\phi(x)$. I due estremi dello stesso
intervallo tolto durante la costruzione degli insiemi $K_n$ hanno le
rappresentazioni ternarie
\begin{align*}
x&=0,d_1d_2\ldots d_{m-1}\,100000\ldots=0,d_1d_2\ldots d_{m-1}022222\ldots,\\
y&=0,d_1d_2\ldots d_{m-1}\,200000\ldots,
\end{align*}
dove $d_1,\ldots,d_{m-1}\in\{0,2\}$. In tal caso abbiamo nella rappresentazione
binaria
\begin{align*}
\phi(x)&=0,\tfrac{d_1}{2}\tfrac{d_2}{2}\ldots\tfrac{d_{m-1}}{2}011111\ldots,\\
\phi(y)&=0,\tfrac{d_1}{2}\tfrac{d_2}{2}\ldots\tfrac{d_{m-1}}{2}100000\ldots.
\end{align*}
Quindi
$$\phi(x)=\sum_{n=1}^{m-1}\frac{\tfrac{1}{2}d_n}{2^n}+\sum_{n=m+1}^\infty\,
\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^{m-1}\,\frac{\tfrac{1}{2}d_n}{2^n}+\frac{1}{2^m}
=\phi(y).$$
In altre parole, gli estremi dello stesso intervallo tolto durante la
costruzione degli insiemi $K_n$ hanno la stessa immagine sotto la mappa $\phi$.
Di conseguenza, $\phi$ \`e una funzione continua non decrescente, mentre
$\phi(K)=[0,1]$. La mappa $\phi$ \`e biunivoca tranne negli estremi dello stesso
intervallo tolto (dove \`e due a uno). Quindi l'insieme di Cantor $K$ e
l'intervallo $[0,1]$ hanno la stessa cardinalit\`a, cio\`e $K$ non \`e
numerabile.

\begin{figure}[H]\label{fig:7.1}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{koch}}\\
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{sierpinski}}
\caption{La curva di Koch \cite{gl} ed il triangolo di Sierpi\'{n}ski (Vedi
Wikipedia).}
\end{figure}
%\begin{figure}[H]\label{fig:7.1a}
%\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{koch}}
%\caption{La curva di Koch \cite{gl} (Vedi Wikipedia).}
%\end{figure}
%\begin{figure}[H]\label{fig:7.1b}
%\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{sierpinski}}
%\caption{Il triangolo di Sierpi\'{n}ski (Vedi Wikipedia).}
%\end{figure}
Discutiamo ora una modifica dell'insieme di Cantor: la {\it curva di
Koch}\footnote{Pubblicata da Niels Helge von Koch [1870--1924] nel 1904.} [vedi
 Fig. \ref{fig:7.1}]. Tale curva si costruisce partendo da un triangolo
equilatero e aggiungendo, all'esterno, i triangoli equilateri che hanno le
misure ridotte di un fattore $3$.

Un'altra variante \`e il {\it triangolo di Sierpi\'{n}si}.\footnote{Pubblicato
daWac\l aw Sierpi\'{n}ski [1882--1969] nel 1915.} Sia $\boldsymbol{K}_0$ la
regione chiusa che ha un triangolo equilatero con lati di lunghezza $1$ come sua
frontiera. Da questa regione triangolare si toglie la regione triangolare aperta
con vertici i centri dei tre lati, il che conduce all'unione di tre regioni
triangolari $\boldsymbol{K}_1$, dove ogni triangolino ha tre lati di lunghezza
$\tfrac{1}{2}$. Sia, ora, $\boldsymbol{K}_n$ l'unione di $3^n$ regioni che hanno
da frontiera un triangolo equilatero, dove ogni lato ha la lunghezza
$(\tfrac{1}{2})^n$. Da ciascuna dei $3^n$ triangoli si toglie la regione
triangolare aperta con vertici i centri dei tre lati, il che conduce a tre
triangoli di $\boldsymbol{K}_{n+1}$ al posto di ogni triangolo di
$\boldsymbol{K}_n$. Si vede facilmente che l'area di $\boldsymbol{K}_0$ vale
$\tfrac{1}{4}\sqrt{3}$. Alla transizione da $\boldsymbol{K}_n$ a
$\boldsymbol{K}_{n+1}$ l'area viene ridotta da un fattore $\tfrac{2}{3}$.
Quindi l'area di $\boldsymbol{K}_n$ vale $\tfrac{1}{4}(\tfrac{2}{3})^n\sqrt{3}$.
Inoltre,
$$[0,1]=\boldsymbol{K}_0\supset \boldsymbol{K}_1\supset \boldsymbol{K}_2\supset
\boldsymbol{K}_3\supset\ldots\supset \boldsymbol{K}_n\supset\boldsymbol{K}_{n+1}
\supset\ldots.$$
Di conseguenza, l'intersezione di tutti gli insieme $\boldsymbol{K}_n$ si chiama
il triangolo di Sierpi\'{n}ski, $\boldsymbol{K}$. L'insieme $\boldsymbol{K}$ ha
l'area uguale a zero ed \`e non numerabile. Infine, si ripetino le analoghe
considerazioni per il tappeto di Sierpi\'{n}ski [vedi Fig. \ref{fig:7.3}].
\begin{figure}[H]\label{fig:7.3}
\centering\resizebox{.7\textwidth}{!}{\includegraphics{tappeto}}
\caption{Il tappeto di Sierpi\'{n}ski \cite{Br}.}
\end{figure}

\section{Caratteristiche dei frattali}

Un frattale \`e caratterizzato dalle seguenti propriet\`a:
\begin{itemize}
\item[a.] un frattale ha una struttura quando \`e soggetto ad un rescaling
arbitrariamente piccolo.
\item[b.] un frattale \`e troppo "irregolare" per poter essere descritto in
termini di funzioni abbastanza lisce.
\item[c.] un frattale \`e costituito da parti che hanno la stessa struttura del
frattale stesso. Tali parti hanno la stessa struttura delle loro sottoparti,
ecc. Quindi si pu\`o effettuare un rescaling per arrivare ad una parte del
frattale che ha la stessa struttura del frattale stesso. Questa propriet\`a
si chiama {\it self-similarity}.
\item[d.] Il frattale viene (spesso) definito applicando una regola ricorsiva.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]\label{fig:7.4}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{mandelfrac1}\quad
\includegraphics{mandelfrac2}}\\
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{mandelfrac3}\quad
\includegraphics{mandelfrac4}}
\caption{Dettagli dell'insieme di Mandelbrot: X1, X6, X100 e X2000 (Vedi
Wikipedia in inglese).}
\end{figure}
Per tali motivi i frattali modellizzano strutture naturali quali la costa
di un paese, i confini di una nuvola, una montagna, i cavolfiori e i broccoli,
ecc. Aggiungendo abbastanza dettagli, la lunghezza della costa va all'infinito.
Per esempio, ogni intervallo $[a,b]$ costituito da uno degli insiemi $K_n$,
che conduce all'insieme di Cantor, ha le stesse caratteristiche dell'insieme di 
Cantor stesso. Un altro esempio viene fornito dal triangolo di Sierpi\'{n}ski.
Ogni triangolo, che nasce durante la sua costruzione, pu\`o essere messo in
corrispondenza biunivoca con il triangolo di Sierpi\'{n}ski stesso. La stessa
cosa vale per la curva di Koch. Un esempio tipico di frattale \`e l'insieme di
Mandelbrot.

\begin{figure}[H]\label{fig:7.5}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{newtoncube}}\\ \vskip 1pt
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{radicequinta}}
\caption{Bacini di attrazione per calcolare gli zeri dei polinomi $z^3-1$
e $z^5-1$ usando il metodo di Newton-Raphson. In bianco: gli insiemi di Julia.}
\end{figure}
Molti frattali si ottengono applicando un sistemo dinamico discreto. Per
esempio, l'applicazione del metodo di Newton-Rawson ad un polinomio $p(z)$
con $n\ge 3$ zeri semplici, cio\`e il sistema dinamico di equazione
$$z_{n+1}=z_n-\frac{p(z)}{p'(z)},$$
conduce ad $n$ bacini di attrazione attorno agli zeri pi\`u una struttura
frattale lungo i bordi dei bacini. Uno degli esempi pi\`u noti riguarda i
polinomi $p(z)=z^3-1$ e $p(z)=z^5-1$ [Vedi la Fig.~\ref{fig:5.8}].

Una famiglia di frattali legata all'insieme di Mandelbrot riguarda i cosiddetti
insiemi di Julia (Gaston Julia [1893--1978]). Sia $f:\C\to\C$ una funzione
analitica intera. Consideriamo il sistema dinamico discreto
$$z_{n+1}=f(z_n),\qquad n=0,1,2,3,\ldots.$$
\begin{figure}[H]\label{fig:7.6}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{julia1}\
\includegraphics{julia2}\ \includegraphics{julia3}\
\includegraphics{julia4}}\\
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}{\includegraphics{julia5}\
\includegraphics{julia6}\ \includegraphics{julia7}\
\includegraphics{julia8}}
\caption{Insiemi di Julia per \tcg{$c=(1-\sqrt{5})/2$} [su 1],
\tcb{$c=((-3+\sqrt{5})/2)+i((-1+\sqrt{5})/2)$} [su 2], \tcr{$c=0,285$} [su 3],
\tcb{$c=0,285+0,01\,i$} [su 4], \tcb{$c=0,45+0,1428\,i$} [gi\`u 1],
\tcb{$c=-0,70176-0,3842\,i$} [gi\`u 2], \tcb{$c=-0,835-0,2321\,i$} [gi\`u 3],
\tcb{$c=-0,8+0,156\,i$} [gi\`u 4]. Il primo disegno riguarda un insieme di
Julia riempito. I valori di $c$ in verde appartengono all'insieme di Mandelbrot.
Quelli in rosso invece no. Quelli in blu magari no. Vedi Wikipedia (inglese).}
\end{figure}
Si dice {\it insieme di Julia riempito} (inglese: filled Julia set) l'insieme
$C(f)$ di tutti i punti $z_0\in\C$ per cui la successione $\{z_n\}_{n=0}^\infty$
\`e limitata. La sua frontiera si chiama {\it insieme di Julia}, $J(f)$.
L'insieme di Julia \`e la chiusura dell'insieme dei punti periodici ripulsivi.
L'insieme di Julia, $J(f)$, e il suo complementare, l'insieme di Fatou $F(f)$,
sono invarianti sotto la mappa $f$:
$$f^{-1}(J(f))=J(f)=f(J(f)),\qquad f^{-1}(F(f))=F(f)=f(F(f)).$$

Gli insiemi di Julia sono stati studiati prevalentamente per le mappe
$$f_c(z)=z^2+c,$$
dove $c\in\C$ \`e un parametro [vedi Eq.~\eqref{5.17}]. L'insieme di tutti
i punti $c\in\C$ per cui l'insieme di Julia $J(f_c)$ \`e connesso, si chiama
{\it insieme di Mandelbrot}.
\begin{figure}[H]\label{fig:7.7}
\centering\resizebox{.8\textwidth}{!}{\includegraphics{julia_mandel}}
\caption{Si illustra che l'insieme di Mandelbrot consiste in tutti i $c\in\C$
per cui l'insieme di Julia $J(f_c)$ \`e connesso \cite{Br}.}
\end{figure}

\section{Dimensione di Hausdorff}

Secondo Beno\^{i}t Mandelbrot [1924-2010], che ha introdotto la terminologia nel
1975, un frattale \`e un sottoinsieme di uno spazio euclideo che ha
una dimensione di Hausdorff superiore alla sua dimensione topologica.
Intuitivamente \`e chiaro che cosa si intende con il concetto di dimensione.
Un singolo punto ha dimensione zero. Una curva regolare in $\R^2$ o $\R^3$ ha
dimensione $1$. Una superficie regolare ha dimensione $2$, ecc. Una variet\`a,
che localmente \`e topologicamente equivalente allo spazio euclideo $\R^n$, si
dice che ha dimensione $n$.

\begin{definition}
Uno spazio topologico $X$ ha dimensione topologica $n$ se ogni ricoprimento
aperto di $X$ ha un raffinamento aperto tale che ogni punto $x\in X$ \`e
contenuto in al massimo $n+1$ insiemi del raffinamento. In altre parole: se
$X=\cup_j\,U_j$ per una famiglia di sottoinsiemi aperti $U_j$ in $X$, allora
esiste un'altra famiglia di sottoinsiemi aperti $V_k$ in $X$ tali che
\begin{itemize}
\item[a.] $X=\cup_k\,V_k$,
\item[b.] ogni $V_k$ \`e contenuto in un opportuno $U_{j(k)}$, 
\item[c.] ogni $x\in X$ appartiene al massimo a $n+1$ insiemi $V_k$.
\end{itemize}
\end{definition}

Per esempio, la circonferenza ha dimensione $1$, poich\`e ogni suo ricoprimento
aperto ha un raffinamento di archi aperti tali che ogni punto della
circonferenza \`e contenuto in soltanto uno o due tali archi. La superficie
sferica ha dimensione $2$, poich\`e ogni suo ricoprimento aperto ha un
raffinamento di dischi aperti (sulla superficie) tali che ogni punto della
superficie sferica \`e contenuto in uno, due o tre di tali dischi.

La dimensione topologica di un punto vale zero, poich\`e ogni suo ricoprimento
aperto ha un raffinamento che consiste in un singolo insieme aperto. Secondo un
teorema di Lebesgue, le superfici regolari (a tratti) di dimensione
{\it intuitiva} $n$ hanno anche la dimensione topologica $n$. La dimensione
topologica \`e sempre un numero intero non negativo oppure infinito.

Nel 1918 Felix Hausdorff [1868-1942] ha introdotto un'altra nozione di
dimensione, nota come dimensione di Hausdorff. Al contrario della nozione di
dimensione topologica, la dimensione di Hausdorff dipende dalla metrica (cio\`e,
dalle distanze) in $X$ e non soltanto dalla totalit\`a di tutti i suoi
sottoinsiemi aperti. Per $\rho>0$, sia $N(\rho)$ il numero di palle di raggio
$\rho$ necessario per coprire $X$. Quindi, $X$ pu\`o essere coperto con
$N(\rho)$ di tali palle ma $N(\rho)-1$ palle non sono sufficienti per il suo
ricoprimento. Se $d$ fosse la dimensione di Hausdorff di $X$, ci si aspetta un
comportamento del tipo
$$N(\rho)\sim\dfrac{1}{\rho^d},\qquad\rho\to 0^+.$$

\begin{example}
L'insieme finito $\{x_1,\ldots,x_n\}$ in $\R^d$ pu\`o essere coperto
da esattamento $n$ palle di raggio $\rho$ se
$0<2\rho<\min\{\|x_j-x_k\|:j\neq k\}$. Di conseguenza, la sua dimensione di
Hausdorff vale zero. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
Per $X=[0,1]$ abbiamo
$$N(\rho)=1+\min\left\{n\in\N:n>\frac{1}{2\rho}\right\}.$$
Dalla disuguaglianza $(1/2\rho)<N(\rho)\le(1/2\rho)+1$ segue $d=1$.
\hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
La palla di raggio $\rho$ in $\R^d$ ha il volume $c(d)\rho^d$, dove $c(d)$ \`e
un'opportuna costante positiva.\footnote{$c(1)=2$, $c(2)=\pi$,
$c(3)=\tfrac{4}{3}\pi$.} Quindi per un aperto $U$ in $\R^n$ di misura $\mu$ 
abbiamo $N(\rho)\approx(\mu/c(d)\rho^d)$. Di conseguenza, un aperto in $\R^d$
ha dimensione di Hausdorff uguale a $d$. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

 Formalmente, sia $X$ uno spazio metrico, cio\`e esiste una metrica (una
distanza) tra punti di $X$  che \`e positiva tra due punti diversi, \`e
simmetrica tra i due punti e verifica la disuguaglianza
triangolare. Definiamo il {\it contenuto di Hausdorff} nel seguente modo:
$$C_H^d(X)
=\inf\left\{\sum_j\,[r_j]^d:X=\cup_j\,\{x\in X:d(x_j,x)<\rho_j\}\right\},$$
dove l'estremo inferiore viene calcolato al variare dei centri $x_j\in X$.
Allora la {\it dimensione di Hausdorff}, $\text{dim}_H(X)$, viene definita da
$$\text{dim}_H(X)=\inf\left\{d\ge 0:C_H^d(X)=0\right\}.$$
La dimensione di Hausdorff non pu\`o essere inferiore a quella topologica.
\bigskip

Nella seguente tabella (in cui $d_F$ \`e la costante di Feigenbaum) elenchiamo
le dimensioni di Hausdorff di alcuni frattali.
\medskip

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}\hline
frattale&dim. Hausdorff&appross.&dim. top.\\ \hline
insieme di Cantor                   &$\ln(2)/\ln(3)$  &$0,6309$&$0$\\
curva di Koch                       &$\ln(4)/\ln(3)$  &$1,2619$&$1$\\
triangolo di Sierpi\'{n}ski             &$\ln(3)/\ln(2)$  &$1,5849625$&$1$\\
$\begin{matrix}\text{frontiera\ dell'insieme}\\
\text{di\ Mandelbrot} \cite{Sh}\hfill\end{matrix}$&$2$&$2,0000$&$1$\\
$\begin{matrix}\text{diagramma\ di\ biforcazione}\\
\text{della\ mappa\ logistica}\hfill\end{matrix}$
&$\ln(2)/\ln(d_F)$&$0,4498$&$0$\\
tappeto di Sierpi\'{n}ski             &$\ln(8)/\ln(3)$  &$1,8928$&$1$\\ \hline
\end{tabular}
\bigskip

Introduciamo ora un metodo per calcolare le dimensioni di Hausdorff dei frattali
che hanno una self-similarity esatta. Una mappa $\psi:\R^n\to\R^n$ si dice
{\it similarity} se ha la forma $\psi(x)=x_0+r(U(x)-x_0)$ per un'opportuna
costante $0<r<1$, un opportuno punto $x_0\in\R^n$ e un'opportuna isometria $U$.
Dato un numero finito di similarity $\psi_1,\ldots,\psi_m$, esiste un unico
sottoinsieme $K$ di $\R^n$ tale che
$$\ds\bigcup_{j=1}^m\,\psi_j(K)=K.$$
Se $r_1,\ldots,r_m$ sono le costanti di contrazione delle similarity
$\psi_1,\ldots,\psi_m$, allora la dimensione di Hausdorff $d$ di $K$ si ottiene
dall'equazione
\begin{equation}
\sum_{j=1}^d\,[r_j]^d=1.\label{7.2}
\end{equation}
Una condizione necessaria (la cosiddetta {\it open set condition}),  per poter
applicare questo risultato \`e l'esistenza di un sottoinsieme aperto e limitato
$V$ di $\R^n$ tale che
\begin{equation}\label{7.3}
\ds\bigcup_{j=1}^m\,\psi_j(V)\subset V.
\end{equation}

Applichiamo il risultato prima all'insieme di Cantor $K$. Ponendo
$$\psi_1(x)=\tfrac{1}{3}x,\qquad\psi_2(x)=1+\tfrac{1}{3}(x-1)=\tfrac{1}{3}
(2+x),$$
si ottiene $\psi_1(K)\cup\psi_2(K)=K$. Inoltre, vale la cosiddetta open set
condition per $V=(0,1)$. Siccome $r_1=r_2=\tfrac{1}{3}$, la dimensione di
Hausdorff $d$ di $K$ segue dall'equazione
$$\left(\tfrac{1}{3}\right)^d+\left(\tfrac{1}{3}\right)^d=1,$$
cio\`e $\ln(2)-d\ln(3)=0$ e quindi $d=(\ln(2)/\ln(3))$.

Consideriamo ora il triangolo di Sierpi\'{n}ski $\boldsymbol{K}$. Siano
$x_1$, $x_2$ e $x_3$ i vertici del triangolo di partenza e $\psi_1$, $\psi_2$
e $\psi_3$ le seguenti similarity:
$$\psi_j(x)=x_j+\tfrac{1}{2}(x-x_j),\qquad x\in\R^2,\quad j=1,2,3.$$ Sia $V$
la regione aperta che ha il triangolo di base come la sua frontiera. In tal
caso vale la open set condition, mentre 
$$\psi(\boldsymbol{K})\cup\psi_2(\boldsymbol{K})\cup\psi_3(\boldsymbol{K})
=\boldsymbol{K}.$$
Dunque la dimensione di Hausdorff $d$ di $\boldsymbol{K}$ segue dall'equazione
$$\left(\tfrac{1}{2}\right)^d+\left(\tfrac{1}{2}\right)^d
+\left(\tfrac{1}{2}\right)^d=1,$$
cio\`e $\ln(3)-d\ln(2)=0$ e quindi $d=(\ln(3)/\ln(2))$.

{\bf Esercizio}: Applicare lo stesso metodo per calcolare le dimensione di
Hausdorff del Tappeto di Sierpi\'{n}ski e del tetraedro di
Sierpi\'{n}ski.\footnote{Cio\`e, del frattale costruito come il triangolo di
Sierpi\'{n}ski partendo da un tetraedro.}
