%August 1, 2011

\chapter{Equazioni del Moto di Hamilton}\label{ch:H}

In questo capitolo verr\`a sviluppata la formulazione hamiltoniana della
meccanica analitica. Ci\`o conduce allo studio delle equazioni di Hamilton,
delle trasformazioni canoniche, delle parentesi di Lagrange e di Poisson e
dell'equazione di Hamilton-Jacobi.

\section{Equazioni di moto di Hamilton}\label{sec:H.1}

A un sistema avente $n$ gradi di libert\`a corrispondono $n$ equazioni di moto
di Eulero-Lagrange:
\begin{equation}\label{H.1}
\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i}
-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_i}=0,\qquad i=1,2,\ldots,n,
\end{equation}
essendo $q_1,\ldots,q_n$ le coordinate generalizzate. Poich\`e le equazioni
\eqref{H.1} sono del secondo ordine, il moto del sistema \`e completamente
determinato, ad ogni istante di tempo, se sono assegnati i $2n$ valori iniziali
di $q_1,\ldots,q_n$ e $\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n$. Definiamo ora i momenti
generalizzati (o le quantit\`a di moto generalizzate) $p_1,\ldots,p_n$ come
\begin{equation}\label{H.2}
p_i=\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_i},\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}
Utilizzando la \eqref{H.1} si verifica facilmente che
\begin{equation}\label{H.3}
\dot{p}_i=\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i},\qquad i=1,2,\ldots,n.
\end{equation}

Applichiamo ora la cosiddetta {\it trasformazione di Legendre} alle equazioni di
Eulero-Lagrange \eqref{H.1} con l'obiettivo di arrivare ad un sistema di
equazioni nelle variabili $q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t$. Introduciamo la
hamiltoniana
\begin{equation}\label{H.4}
\CH(p_1,\ldots,p_n,q_1,\ldots,q_n,t)=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_ip_i
-\CL(q_1,\ldots,q_n,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n,t).
\end{equation}
Il suo differenziale \`e dato da
$$d\CH=\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}dq_i
+\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}dp_i
+\dfrac{\partial\CH}{\partial t}dt.$$
D'altra parte,utilizzando la definizione \eqref{H.4} dell'hamiltoniana, si ha
\begin{align*}
d\CH&=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_idp_i+\cancel{\sum_{i=1}^n\,p_id\dot{q}_i}
-\cancel{\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_i}d\dot{q}_i}
-\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i}dq_i
-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_idp_i
-\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i}dq_i
-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_idp_i-\sum_{i=1}^n\,\dot{p}_idq_i
-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}dt,
\end{align*}
dove si sono sfruttate le equazioni di Eulero-Lagrange \eqref{H.1}, la
definizione dei momenti generalizzati $p_i$ [vedi \eqref{H.2}] e delle loro
derivate $\dot{p}_i$ [vedi \eqref{H.4}]. Troviamo due espressioni per il
differenziale $d\CH$:
\begin{align*}
d\CH&=\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}dq_i
+\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}dp_i
+\dfrac{\partial\CH}{\partial t}dt\\
&=\sum_{i=1}^n\,\dot{q}_idp_i-\sum_{i=1}^n\,\dot{p}_idq_i
-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}dt.
\end{align*}
Di conseguenza, sfruttando l'indipendenza delle variabili $q_i$, $p_i$ e $t$
(e quindi degli spostamenti virtuali $dq_i$, $dp_i$ e $dt$), si ottengono
\begin{subequations}\label{H.5}
\begin{align}
\tcm{\dot{q}_i}&=\tcm{\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}},\label{H.5a}\\
\tcm{-\dot{p}_i}&=\tcm{\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}},\label{H.5b}\\
-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}&=\dfrac{\partial\CH}{\partial t}.\label{H.5c}
\end{align}
\end{subequations}
La \eqref{H.5a} e la \eqref{H.5b} si chiamano {\it equazioni canoniche di
Hamilton}. Esse costituiscono un sistema di $2n$ equazioni del primo ordine
che prendono il posto delle equazioni di Eulero-Lagrange.

Osserviamo ora che una coordinata ciclica $q_j$, cio\`e una coordinata che non
appare esplicitamente nella lagrangiana, \`e anche ciclica per quanto riguarda
l'hamiltoniana. Infatti, se $q_j$ non appare nella lagrangiana, allora
$(\partial\CL/\partial q_j)=0$ e quindi (per \eqref{H.4})
$$\dot{p}_j=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_j}=0,$$
che significa che il momento generalizzato $p_j$ viene conservato. Dalla
\eqref{H.5b} segue che $(\partial\CH/\partial q_j)=0$, e quindi $q_j$ non
appare esplicitamente nell'hamiltoniana. Viceversa, se $q_j$ non appare
nell'hamiltoniana, allora $\dot{p}_j=0$ e dunque
$(\partial\CL/\partial q_j)=0$. In altre parole, la coordinata generalizzata
$q_j$ \`e ciclica per la lagrangiana, se e solo se essa \`e ciclica per
l'hamiltoniana, se e solo se il momento generalizzato $p_j$ \`e una quantit\`a
conservata.

Sia $q_n$ una coordinata ciclica. Allora la lagrangiana ha la forma
$$\CL=\CL(q_1,\ldots,q_{n-1},\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_{n-1},\dot{q}_n,t),$$
in cui figurano tutte le velocit\`a generalizzate $\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n$.
Il problema ha ancora $n$ gradi di libert\`a. D'altra parte, la
ciclicit\`a della coordinata generalizzata $q_n$ rende costante il momento
generalizzato $p_n$ e dunque rende banali le equazioni di Hamilton per $i=n$.
Si ottiene un sistema di $2(n-1)$ equazioni di Hamilton (le equazioni
\eqref{H.5a} e \eqref{H.5b} per $i=1,2,\ldots,n-1$) che contengono il momento
generalizzato conservato $p_n$ come parametro.

Il metodo di Routh consente di trattare agevolmente il caso in cui una parte
delle coordinate \`e ciclica e l'altra parte non lo \`e. Tale metodo consiste
nell'effettuare la trasformazione da $(q_i,\dot{q}_i)$ a $(q_i,p_i)$ solo per le
coordinate che sono cicliche, ottenendo cos\`{\i} le corrispondenti equazioni di
moto sotto forma hamiltoniana, mentre le rimanenti coordinate continuano a
essere governate dalle equazioni di Eulero-Lagrange. Se indichiamo ora con
$q_1,\ldots,q_s$ le coordinate cicliche, possiamo introdurre una nuova funzione
$\CR$, detta {\it funzione di Routh}, secondo la seguente definizione:
\begin{equation}\label{H.6}
\CR(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_s,\dot{q}_{s+1},\ldots,\dot{q}_n,t)=\sum_{i=1}^s
\,p_i\dot{q}_i-\CL(q_{s+1},\ldots,q_n,\dot{q}_1,\ldots,\dot{q}_n,t).
\end{equation}
Il suo differenziale risulta pertanto
$$d\CR=\sum_{i=1}^s\,\dot{q}_i\,dp_i-\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CL}
{\partial\dot{q}_i}d\dot{q}_i-\sum_{i=s+1}^n\,
\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i}dq_i-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}dt,$$
da cui
\begin{subequations}\label{H.7}
\begin{alignat}{3}
\dfrac{\partial\CR}{\partial p_i}&=\dot{q}_i,&\quad&i=1,\ldots,s,\label{H.7a}\\
\dfrac{\partial\CR}{\partial q_i}&=-\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i}
=-\frac{d}{dt}\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_i}=-\dot{p}_i=0,\
&\quad&i=1,\ldots,s,\label{H.7b}\\
\dfrac{\partial\CR}{\partial\dot{q}_i}&=-\dfrac{\partial\CL}{\partial\dot{q}_i},
&\quad&i=s+1,\ldots,n,\label{H.7c}\\
\dfrac{\partial\CR}{\partial q_i}&=-\dfrac{\partial\CL}{\partial q_i},
&\quad&i=s+1,\ldots,n.\label{H.7d}
\end{alignat}
\end{subequations}
Si noti che, essendo cicliche le coordinate $q_1,\ldots,q_s$, i corrispondenti
momenti generalizzati $p_1,\ldots,p_s$ si conservano, giustificando l'ultimo
membro della \eqref{H.7b}. Le equazioni \eqref{H.7a} e \eqref{H.7b} relative
alle coordinate $q_1,\ldots,q_s$ hanno la forma di equazioni di Hamilton con
hamiltoniana $\CR$, mentre le equazioni \eqref{H.7c} e \eqref{H.7d} indicano che
le coordinate rimanenti possono essere ricavate dalle equazioni di
Eulero-Lagrange
\begin{equation}\label{H.8}
\dfrac{\partial\CR}{\partial q_i}
-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial\CR}{\partial\dot{q}_i}=0,\qquad i=s+1,\ldots,n,
\end{equation}
con lagrangiana $\CR$.

\section{Leggi di conservazione}\label{sec:H.2}

Abbiamo visto prima che l'hamiltoniana \`e una quantit\`a conservata (uguale
all'energia totale) se la lagrangiana non dipende dal tempo esplicitamente.
Grazie alla \eqref{H.5c} una tale legge di conservazione vale anche se
l'hamiltoniana non dipende dal tempo esplicitamente. Ora (ri)dimostriamo tale
fatto utilizzando le equazioni di Hamilton \eqref{H.5a} e \eqref{H.5b}. Infatti,
\begin{align*}
\dfrac{d\CH}{dt}&=\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}\dot{q}_i
+\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}\dot{p}_i\right)
+\dfrac{\partial\CH}{\partial t}\\ &=\cancel{\sum_{i=1}^n\left(
\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}
-\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}\right)}
+\dfrac{\partial\CH}{\partial t},
\end{align*}
da cui
\begin{equation}\label{H.9}
\tcm{\dfrac{dH}{dt}=\dfrac{\partial\CH}{\partial t}
=-\dfrac{\partial\CL}{\partial t}}.
\end{equation}

\begin{example}[Singola particella, forza centrale]\label{th:H.1} 
In tal caso
$$\CL=T-U=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-U(r),$$
e quindi
$$p_r=\frac{\partial\CL}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\qquad
p_\theta=\frac{\partial\CL}{\partial\dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}.$$
Essendo $\CH=T+U(r)$, troviamo
$$\CH=\dfrac{1}{2m}\left(p_r^2+\dfrac{p_\theta^2}{r^2}\right)+U(r).$$
Ne escono quattro equazioni di Hamilton:
$$\dot{r}=\dfrac{\partial\CH}{\partial p_r}=\dfrac{p_r}{m},\qquad
\dot{\theta}=\dfrac{\partial\CH}{\partial p_\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2},$$
$$\dot{p}_r=-\dfrac{\partial\CH}{\partial r}=\dfrac{p_\theta^2}{mr^3}
-U^\prime(r),\qquad\dot{p}_\theta=0.$$
Si osservi che la coordinata $\theta$ \`e ciclica e quindi che il momento
generalizzato $p_\theta$ {\rm(}uguale al momento angolare{\rm)} viene
conservato.
\end{example}

\begin{example}[Singola particella, forza elettromagnetica]\label{th:H.2} 
In tal caso
$$\CL=\frac{1}{2}m|\dot{\br}|^2-q\left(V-\frac{1}{c}\dot{\br}\cdot\bA\right),$$
essendo $q$ la carica della particella, $c$ la velocit\`a della luce, $V$ il suo
potenziale e $\bA$ il suo potenziale magnetico [Vedi \eqref{E.10}]. Possiamo
scegliere come coordinate lagrangiane le coordinate cartesiane $x,y,z$, per cui
$$p_i=\dfrac{\partial\CL}{\partial v_i}=mv_i+\frac{q}{c}A_i,\qquad i=1,2,3.$$
L'hamiltoniana \`e data da
\begin{align*}
\CH&=\sum_{j=1}^3\,v_jp_j-\CL=\frac{1}{2}m|\dot{\br}|^2+qV
=\dfrac{1}{2m}\left|\bp-\frac{q}{c}\bA\right|^2+qV.
\end{align*}
\end{example}

\section{Principio variazionale per l'hamiltoniana}\label{sec:H.3}

Secondo il principio di Hamilton le equazioni di Eulero-Lagrange si trovano
richiedendo che l'integrale d'azione
\begin{equation}\label{H.10}
S=\int_{t_1}^{t_2}\CL\,dt
\end{equation}
sia stazionario al variare di tutti i moti con gli stessi punti iniziale
$\bq^1=\bq(t_1)$ e finale $\bq^2=\bq(t_2)$, essendo
$\bq^s=(q_1^s,\ldots,q_n^s)$ per $s=1,2$. Sostituendo la \eqref{H.4} nella
\eqref{H.10}, si ottiene
\begin{align*}
0&=\zd S=\zd\int_{t_1}^{t_2}\CL\,dt\\ &=\zd\int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_{i=1}^n\,
p_i\dot{q}_i-\CH(\bq,\bp,t)\right)dt\\
&=\zd\sum_{i=1}^n\int_{t_1}^{t_2}p_i\,dq_i-\zd\int_{t_1}^{t_2}\CH\,dt.
\end{align*}

Nello spazio delle configurazioni definito dalle $n$ coordinate generalizzate,
le configurazioni iniziale e finale del sistema agli istanti $t_1$ e $t_2$ 
rispettivamente, sono rappresentate ciascuna da un punto. Con l'espressione
{\it variazione dell'integrale} si intende la variazione del valore
dell'integrale allorch\'e si cambia la traiettoria percorsa dal punto
rappresentativo del sistema tra i due punti estremi. La variazione va costruita
mantenendo costante il tempo. Di conseguenza, il tempo di viaggio tra le due
configurazioni iniziale e finale risulta lo stesso per tutte le traiettorie.
In pi\`u, le traiettorie variate vanno considerate come costruite mediante
una successione di spostamenti virtuali (che non implicano alcun cambio di $t$)
fatti a partire dai punti della traiettoria effettivamente percorsa. Dire allora
che la variazione dell'integrale in un intorno della traiettoria effettiva \`e uguale a zero, \`e equivalente ad affermare che l'integrale ha un estremo in
corrispondenza a questa traiettoria.

L'operazione di variazione $\delta$ \`e esprimibile mediante i comuni metodi del
calcolo differenziale, individuando con un parametro $\za$ ciascuna delle
possibili traiettorie nello spazio delle configurazioni. Le coordinate $q_i$ di
un punto dello spazio delle configurazioni diventano allora funzioni sia del
tempo che di $\za$, l'ultimo parametro stando ad indicare qual'\`e il cammino
di integrazione utilizzato. Si pu\`o allora considerare l'integrale d'azione
$S$ come una funzione di $\za$, per cui la variazione $\zd$ viene a coincidere
con l'espressione pi\`u familiare del differenziale corrispondente a
un incremento $d\za$ attorno al valore $\za$ associato alla traiettoria reale:
\begin{equation}\label{H.11}
\zd\mapsto d\za\dfrac{\partial}{\partial\za}.
\end{equation}
Nel seguito ricaveremo le equazioni di Hamilton dal principio di Hamilton,
seguendo essenzialmente lo stesso procedimento. L'unica differenza sar\`a
quella di trattare la variazione delle $q_i$ e delle $p_i$ come indipendenti.

Infatti,
\begin{align*}
\zd S&=\dfrac{\partial S}{\partial\za}d\za=d\za\dfrac{\partial}{\partial\za}
\int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_{i=1}^n\,p_i\dot{q}_i-\CH(\bq,\bp,t)\right)dt\\
&=d\za\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{\partial p_i}{\partial\za}
\dot{q}_i+p_i\dfrac{\partial\dot{q}_i}{\partial\za}-\dfrac{\partial\CH}
{\partial q_i}\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}-\dfrac{\partial\CH}
{\partial p_i}\dfrac{\partial p_i}{\partial\za}\right)dt.
\end{align*}
Il secondo termine sotto il segno dell'integrale viene riscritto tramite la
seguente integrazione per parti:
$$\int_{t_1}^{t_2}\,p_i\dfrac{\partial\dot{q}_i}{\partial\za}\,dt
=\int_{t_1}^{t_2}\,p_i\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}\,dt
=\left[p_i\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}\right]_{t=t_1}^{t_2}
\!-\!\int_{t_1}^{t_2}\,\dot{p}_i\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}\,dt
=-\!\int_{t_1}^{t_2}\,\dot{p}_i\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}\,dt,$$
poich\`e tutte le traiettorie variate hanno gli stessi punti estremi (cio\`e,
$q_i(t_1)$ e $q_i(t_2)$ non dipendono da $\za$) e quindi
$\partial q_i/\partial\za$ si annulla ai valori $t_1$ e $t_2$. Di conseguenza,
\begin{align*}
\zd S&=d\za\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\left(\dfrac{\partial p_i}{\partial\za}
\dot{q}_i-\dot{p}_i\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}-\dfrac{\partial\CH}
{\partial q_i}\dfrac{\partial q_i}{\partial\za}-\dfrac{\partial\CH}
{\partial p_i}\dfrac{\partial p_i}{\partial\za}\right)dt\\
&=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\left(\dot{q}_i\zd p_i-\dot{p}_i\zd q_i
-\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}\zd q_i-\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}
\zd p_i\right)dt\\ &=\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^n\left\{\left(\dot{q}_i
-\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i}\right)\zd p_i-\left(\dot{p}_i
+\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i}\right)\zd q_i\right\}dt,
\end{align*}
che si annulla. Poich\`e le variazioni $\zd p_i$ e $\zd q_i$ sono indipendenti,
i loro coefficienti nella sommatoria sotto il segno dell'integrale si devono
annullare. Cos\`{\i} risultano le equazioni di Hamilton
\begin{subequations}\label{H.12}
\begin{align}
\dot{q}_i&=\dfrac{\partial\CH}{\partial p_i},\label{H.12a}\\
\dot{p}_i&=-\dfrac{\partial\CH}{\partial q_i},\label{H.12b}
\end{align}
\end{subequations}
dove $i=1,2,\ldots,n$.

Nella derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange dal principio di Hamilton
abbiamo eliminato le variazioni $\zd\dot{q}_i$ tramite $n$ integrazioni per
parti e trattato le variazioni $\zd q_i$ come fossero indipendenti. Nella
derivazione delle equazioni di Hamilton invece, abbiamo trattato tutte le $2n$
variazioni $\zd q_i$ e $\zd p_i$ come fossero indipendenti.

\section{Trasformazioni canoniche}\label{sec:H.4}

Consideriamo il moto di un punto in presenza di una forza centrale. Tale moto
\`e un moto piano e supponiamo che il piano del moto sia il piano $xy$. Si pu\`o
studiare il moto utilizzando le coordinate cartesiane $x$ e $y$ oppure
adottando le coordinate polari $r$ e $\theta$. Quest'ultima scelta appare pi\`u
conveniente perch\`e la coordinata $\theta$ \`e ciclica. Quindi, se si partisse
impostando lo studio del moto in coordinate cartesiane, sarebbe poi opportuno
passare alle coordinate polari per semplicare le equazioni di moto. Una
trasformazione di coordinate di questo tipo \`e detta {\it trasformazione
puntuale}, poich\`e si passa da un sistema di coordinate $q_i$ ad un nuovo
sistema di coordinate $Q_i$.

In molte occasioni \`e comodo trasformare sia i $q_i$ che i $p_i$ mediante
equazioni di trasformazione del seguente tipo:
\begin{equation}\label{H.13}
\begin{cases}Q_i=Q_i(\bp,\bq,t),\\ P_i=P_i(\bq,\bp,t),\end{cases}
\end{equation}
essendo $\bq=(q_1,\ldots,q_n)$ e $\bp=(p_1,\ldots,p_n)$.

In meccanica hamiltoniana rivestono particolare interesse solo quelle
trasformazioni per le quali le nuove coordinate $\bQ=(Q_1,\ldots,Q_n)$ e
$\bP=(P_1,\ldots,P_n)$ sono canoniche. Questa condizione sar\`a soddisfatta
purch\'e esista una funzione $\CK=\CK(\bQ,\bP,t)$, tale che le equazioni di
moto riferite al nuovo sistema di coordinate abbiano la forma hamiltoniana
\begin{subequations}\label{H.14}
\begin{align}
\dot{Q}_i&=\dfrac{\partial\CK}{\partial P_i},\label{H.14a}\\
\dot{P}_i&=-\dfrac{\partial\CK}{\partial Q_i},\label{H.14b}
\end{align}
\end{subequations}
dove $i=1,2,\ldots,n$. Le trasformazioni, per le quali valgono le \eqref{H.14},
si dicono {\it canoniche}.

Se le nuove coordinate $Q_i$ e $P_i$ sono canoniche, deve valere il principio
variazionale
$$\zd\int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_{i=1}^n\,P_i\dot{Q}_i-\CK(\bQ,\bP,t)\right)dt
=0.$$
Allo stesso momento le vecchie coordinate soddisfano a un principio analogo:
$$\zd\int_{t_1}^{t_2}\left(\sum_{i=1}^n\,p_i\dot{q}_i-\CH(\bq,\bp,t)\right)dt
=0.$$
Il verificarsi simultaneo dei due principi variazionali significa che gli
integrandi dei due integrali possono differire al pi\`u per una derivata
totale, rispetto al tempo, di una funzione arbitraria $\CF$ delle coordinate,
degli impulsi e del tempo:
$$\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d\CF}{dt}\,dt=\CF(P_2)-\CF(P_1),$$
e la variazione di questo integrale \`e automaticamente nulla qualunque sia la
funzione $\CF$, poich\`e la variazione si annulla nei punti estremi. La funzione
arbitraria $\CF$ si chiama {\it funzione generatrice} della trasformazione,
poich\`e, come vedremo, nota $\CF$, le equazioni di trasformazione
\eqref{H.13} risultano completamente determinate.

La funzione generatrice $\CF$ dipende dalle $4n$ variabili $q_i$, $p_i$, $Q_i$
e $P_i$, ma non tutte queste variabili sono indipendenti. Soffermandoci su $2n$
variabili, scriviamo la $\CF$ nei seguenti quattro modi diversi:
$$\CF_1(\bq,\bQ,t),\quad\CF_2(\bq,\bP,t),\quad\CF_3(\bp,\bQ,t),\quad
\CF_4(\bp,\bP,t).$$
Esistono comunque altre funzioni generatrici $\CF$ che non hanno una tale forma.

Nel caso in cui la prima forma $\CF_1$ sia indicata, gli integrandi nei due
principi variazionali sono legati dalla relazione
\begin{equation}\label{H.15}
\sum_{i=1}^n\,p_i\dot{q}_i-\CH=\sum_{i=1}^n\,P_i\dot{Q}_i-\CK
+\dfrac{d}{dt}\CF_1(\bq,\bQ,t),
\end{equation}
dove
$$\dfrac{d\CF_1}{dt}=\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CF_1}{\partial q_i}\dot{q}_i
+\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CF_1}{\partial Q_i}\dot{Q}_i
+\dfrac{\partial\CF_1}{\partial t}.$$
Poich\`e le vecchie e le nuove coordinate $q_i$ e $Q_i$ sono considerate
come variabili indipendenti, la \eqref{H.15} sussiste se e solo se
i coefficienti delle $\dot{q}_i$ e delle $\dot{Q}_i$ si annullano:
$$p_i=\dfrac{\partial\CF_1}{\partial q_i},\qquad
P_i=-\dfrac{\partial\CF_1}{\partial Q_i},$$
da cui
$$\CK=\CH+\dfrac{\partial\CF_1}{\partial t}.$$
Abbiamo trovate la relazione tra la vecchia e la nuova hamiltoniana.

 Facendo lo stesso discorso per la forma $\CF_2(\bq,\bP,t)$, si definisce
$$\CF_2(\bq,\bP,t)=\CF_1(\bq,\bQ,t)+\sum_{i=1}^n\,P_iQ_i.$$
In tal caso si ottiene dalla \eqref{H.15}
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n\,p_i\dot{q}_i-\CH&=\sum_{i=1}^n\,P_i\dot{Q}_i-\CK
+\dfrac{d}{dt}\left(\CF_2(\bq,\bP,t)-\sum_{i=1}^n\,Q_iP_i\right)\\
&=-\sum_{i=1}^n\,Q_i\dot{P}_i-\CK+\dfrac{d}{dt}\CF_2(\bq,\bP,t)\\
&=-\sum_{i=1}^n\,Q_i\dot{P}_i-\CK
+\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_i}\dot{q}_i
+\sum_{i=1}^n\,\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_i}\dot{P}_i
+\dfrac{\partial\CF_2}{\partial t}.
\end{align*}
Di conseguenza,
\begin{equation}\label{H.16}
p_i=\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_i},\qquad
Q_i=\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_i},
\end{equation}
con
$$\CK=\CH+\dfrac{\partial\CF_2}{\partial t}.$$

Partendo dalla relazione
$$\CF_1(\bq,\bQ,t)=\sum_{i=1}^n\,q_ip_i+\CF_3(\bQ,\bp,t),$$
troviamo dalla \eqref{H.15}
$$-\sum_{i=1}^n\,q_i\dot{p}_i-\CH=\sum_{i=1}^n\,P_i\dot{Q}_i-\CK
+\dfrac{d}{dt}\CF_3(\bp,\bQ,t),$$
da cui
\begin{equation}\label{H.17}
q_i=-\dfrac{\partial\CF_3}{\partial p_i},\qquad
P_i=-\dfrac{\partial\CF_3}{\partial Q_i},
\end{equation}
con
$$\CK=\CH+\dfrac{\partial\CF_3}{\partial t}.$$

Infine, ponendo
$$\CF_4(\bp,\bP,t)=\CF_1(\bq,\bQ,t)+\sum_{i=1}^n\,P_iQ_i-\sum_{i=1}^n\,p_iq_i,$$
si ottiene
$$-\sum_{i=1}^n\,q_i\dot{p}_i-\CH=-\sum_{i=1}^n\,Q_i\dot{P}_i-\CK
+\dfrac{d}{dt}\CF_4(\bp,\bP,t).$$
Di conseguenza,
\begin{equation}\label{H.18}
q_i=-\dfrac{\partial\CF_4}{\partial p_i},\qquad
Q_i=\dfrac{\partial\CF_4}{\partial P_i},
\end{equation}
con
$$\CK=\CH+\dfrac{\partial\CF_4}{\partial t}.$$

\begin{example}[Trasformazione identit\`a]\label{th:H.3}
Sia
$$\CF_2=\sum_{i=1}^n\,q_iP_i.$$
Allora
\begin{align*}
p_i=\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_i}=P_i,\\
Q_i=\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_i}=q_i,
\end{align*}
e quindi $\CK=\CH$. Di conseguenza, $\CF_2$ genera la trasformazione identit\`a.
\end{example}

\begin{example}[Scambio delle coordinate]\label{th:H.4}
Sia
$$\CF_1=\sum_{k=1}^n\,q_kQ_k.$$
Allora $\CK=\CH$ e
\begin{align*}
p_i&=\dfrac{\partial\CF_1}{\partial q_i}=Q_i,\\
P_i&=-\dfrac{\partial\CF_1}{\partial Q_i}=-q_i.
\end{align*}
Tranne il segno, abbiamo scambiato i ruoli delle coordinate generalizzate e dei
momenti generalizzati.
\end{example}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|c|}\hline
 Funzione generatrice $\CF$&Derivata&Caso banale\\ \hline
$\CF_1(\bq,\bQ,t)$&$p_i\!=\!\dfrac{\partial\CF_1}{\partial q_i}$,
$P_i\!=\!-\dfrac{\partial\CF_1}{\partial Q_i}$
&$\begin{matrix}\CF_1=\ds\sum_{i=1}^n\,q_iQ_i,\\
 Q_i=p_i,\ P_i=-p_i\end{matrix}$\\
$\CF_2(\bq,\bP,t)\!-\!\ds\sum_{i=1}^n\,Q_iP_i$
&$p_i\!=\!\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_i}$,
$Q_i\!=\!\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_i}$
&$\begin{matrix}\CF_2=\ds\sum_{i=1}^n\,q_iP_i,\\
 Q_i=q_i,\ P_i=p_i \end{matrix}$\\
$\CF_3(\bp,\bQ,t)\!+\!\ds\sum_{i=1}^n\,q_ip_i$
&$q_i\!=\!-\dfrac{\partial\CF_3}{\partial p_i}$,
$P_i\!=\!-\dfrac{\partial\CF_3}{\partial Q_i}$
&$\begin{matrix}\CF_3=\ds\sum_{i=1}^n\,p_iQ_i,\\
Q_i=-q_i,\ P_i=-p_i\end{matrix}$\\
$\CF_4(\bp,\bP,t)\!+\!\ds\sum_{i=1}^n\,[q_ip_i-Q_iP_i]$
&$q_i\!=\!\dfrac{\partial\CF_4}{\partial p_i}$,
$Q_i\!=\!\dfrac{\partial\CF_4}{\partial P_i}$
&$\begin{matrix}\CF_4=\ds\sum_{i=1}^n\,p_iP_i,\\
 Q_i=p_i,\ P_i=-q_i\end{matrix}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{example}[Moto armonico]\label{th:H.5}
Sia
$$\CF_1=\tfrac{1}{2}m\zo q^2\cotan Q,$$
essendo $m$ e $q$ delle costanti. In tal caso $\CK=\CH$ e
\begin{align*}
p&=\dfrac{\partial\CF_1}{\partial q}=m\zo q\cotan Q,\\
P&=-\dfrac{\partial\CF_1}{\partial Q}=\dfrac{m\zo q^2}{2\sin^2Q}.
\end{align*}
Quindi
$$q=\sqrt{\dfrac{2P}{m\zo}}\,\sin Q,\qquad p=\sqrt{2m\zo P}\,\cos Q.$$
Di conseguenza, se avessimo l'hamiltoniana della forza elastica
$$\CH=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{m\zo^2}{2}q^2,$$
allora
$$\CH=\zo P\cos^2Q+\zo P\sin^2Q=\zo P.$$
In altre parole, l'hamiltoniana $\CH$ \`e ciclica nella nuova variabile $Q$ e
il momento associato $P$ \`e pertanto una costante (uguale all'energia totale
diviso da $\zo$: $P=E/\zo$). L'equazione di moto per $Q$ si riduce alla
semplica forma
$$Q=\dfrac{\partial\CH}{\partial P}=\zo,$$
la cui soluzione immediata \`e
$$Q=\zo t+Q_0,$$
essendo $Q_0$ il valore iniziale di $Q$. Di conseguenza,
$$q=\sqrt{\dfrac{2E}{m\zo^2}}\,\sin(\zo t+Q_0).$$
\end{example}

\section{Integrali invarianti di Poincar\'e}\label{sec:H.5}

Consideriamo una superficie bidimensionale $\zS$ nel cosidetto {\it spazio delle
fasi}, i cui punti sono rappresentati dalle coordinate
$$(\bq,\bp)=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n).$$
Siano $u$ e $v$ due parametri relativi alla superficie $\zS$, cio\`e
$$q_j=q_j(u,v),\qquad p_j=p_j(u,v),$$
per ogni $(\bq,\bp)\in\zS$. Allora l'elemento di superficie $dq_jdp_j$ si
trasforma nell'elemento di superficie $du\,dv$ mediante il determinante
jacobiano
$$\dfrac{\partial(q_j,p_j)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}&\dfrac{\partial p_j}{\partial u}\\
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}&\dfrac{\partial p_j}{\partial v}
\end{vmatrix}.$$

Si consideri la trasformazione canonica che fa passare dalle coordinate 
$\bq$ e $\bp$ alle coordinate $\bQ$ e $\bP$ e che viene generata dalla funzione
generatrice $\CF_2(\bq,\bP,t)$. Utilizzando le \eqref{H.16} otteniamo
\begin{align*}
\dfrac{\partial p_j}{\partial u}&=\dfrac{\partial}{\partial u}
\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_j}
=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\dfrac{\partial P_k}{\partial u}
+\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial q_k}
\dfrac{\partial q_k}{\partial u}\right),\\
\dfrac{\partial p_j}{\partial v}&=\dfrac{\partial}{\partial v}
\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_j}
=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\dfrac{\partial P_k}{\partial v}
+\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial q_k}
\dfrac{\partial q_k}{\partial v}\right),
\end{align*}
Dunque
$$\sum_{j=1}^n\,\dfrac{\partial(q_j,p_j)}{\partial(u,v)}=\sum_{j,k=1}^n\,
\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial q_k}\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}&\dfrac{\partial q_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}&\dfrac{\partial q_k}{\partial v}\end{vmatrix}
+\sum_{j,k=1}^n\,\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}&\dfrac{\partial P_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}&\dfrac{\partial P_k}{\partial v}
\end{vmatrix}.$$
Scambiando i pedici $j,k$ nei termini della prima sommatoria si produce il suo
termine contrario, quindi la prima sommatoria vale zero. Dunque
$$\sum_{j=1}^n\,\dfrac{\partial(q_j,p_j)}{\partial(u,v)}
=\sum_{j,k=1}^n\,\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}&\dfrac{\partial P_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}&\dfrac{\partial P_k}{\partial v}
\end{vmatrix}.$$
Cos\`{\i} otteniamo
$$\sum_{j=1}^n\,\dfrac{\partial(q_j,p_j)}{\partial(u,v)}=\sum_{j,k=1}^n\,
\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial P_j\partial P_k}\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial P_j}{\partial u}&\dfrac{\partial P_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial P_j}{\partial v}&\dfrac{\partial P_k}{\partial v}\end{vmatrix}
+\sum_{j,k=1}^n\,\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}&\dfrac{\partial P_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}&\dfrac{\partial P_k}{\partial v}
\end{vmatrix},$$
essendo, in base a considerazioni analoghe, la prima sommatoria uguale a zero.
Osservando che:
\begin{align*}
\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial P_j\partial P_k}
\dfrac{\partial P_j}{\partial u}
+\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\dfrac{\partial q_j}{\partial u}\right)&=\dfrac{\partial}{\partial u}
\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_k},\\
\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial P_j\partial P_k}
\dfrac{\partial P_j}{\partial v}
+\dfrac{\partial^2\CF_2}{\partial q_j\partial P_k}
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}\right)&=\dfrac{\partial}{\partial v}
\dfrac{\partial\CF_2}{\partial P_k},
\end{align*}
e ricordando le \eqref{H.16}, si ottiene infine
\begin{equation}\label{H.19}
\sum_{j=1}^n\,\dfrac{\partial(q_j,p_j)}{\partial(u,v)}
=\sum_{k=1}^n\,\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial Q_k}{\partial u}&\dfrac{\partial P_k}{\partial u}\\
\dfrac{\partial Q_k}{\partial v}&\dfrac{\partial P_k}{\partial v}\end{vmatrix}
=\sum_{k=1}^n\,\dfrac{\partial(Q_k,P_k)}{\partial(u,v)}.
\end{equation}
Di conseguenza,
$$J_1\deff\iint_\zS\sum_{j=1}^n\,dq_jdp_j=\iint_\zS\sum_{k=1}^n\,dQ_kdP_k$$
\`e un integrale invariante sotto le trasformazioni canoniche.

Ripetendo la procedura, si dimostra che l'integrale, esteso ad una superficie
4D nello spazio delle fasi,
$$J_2\deff\iint_\zS\sum_{j,k=1}^n\,dq_jdp_jdq_kdp_k
=\iint_\zS\sum_{j,k=1}^n\,dQ_jdP_jdQ_kdP_k$$
\`e invariante sotto le trasformazioni canoniche. Infine, l'integrale, esteso
a qualsiasi regione dello spazio delle fasi,
$$J_n\deff\int\ldots\int\,dq_1\ldots dq_ndp_1\ldots dp_n,$$
\`e invariante sotto le trasformazioni canoniche.

\section{Parentesi di Lagrange e di Poisson}\label{sec:H.6}

L'equazione \eqref{H.19} sull'invarianza della somma dei determinanti jacobiani
si pu\`o anche scrivere nella seguente forma:
$$\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial q_j}{\partial u}
\dfrac{\partial p_j}{\partial v}-\dfrac{\partial p_j}{\partial u}
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}\right)=\sum_{j=1}^n\left(
\dfrac{\partial Q_j}{\partial u}\dfrac{\partial P_j}{\partial v}
-\dfrac{\partial P_j}{\partial u}\dfrac{\partial Q_j}{\partial v}\right).$$
\`E pertanto evidente che la cosiddetta {\it parentesi di Lagrange}
\begin{equation}\label{H.20}
\tcm{\{u,v\}_{\bq,\bp}\deff\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial q_j}{\partial u}
\dfrac{\partial p_j}{\partial v}-\dfrac{\partial p_j}{\partial u}
\dfrac{\partial q_j}{\partial v}\right)},
\end{equation}
\`e invariante sotto le trasformazioni canoniche. Inoltre, la parentesi di
Lagrange \`e antisimmetrica rispetto ai suoi due argomenti:
$$\{u,v\}_{\bq,\bp}=-\{v,u\}_{\bq,\bp}.$$

L'indipendenza delle coordinate $q_j$ e $p_k$ conduce alla relazione
\begin{subequations}\label{H.21}
\begin{equation}\label{H.21a}
\{q_j,q_l\}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial q_k}{\partial q_j}
\dfrac{\partial p_k}{\partial q_l}-\dfrac{\partial p_k}{\partial q_j}
\dfrac{\partial q_k}{\partial q_l}\right)=0.
\end{equation}
Allo stesso modo si dimostra che
\begin{equation}\label{H.21b}
\{p_j,p_l\}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial q_k}{\partial p_j}
\dfrac{\partial p_k}{\partial p_l}-\dfrac{\partial p_k}{\partial p_j}
\dfrac{\partial q_k}{\partial p_l}\right)=0.
\end{equation}
D'altra parte,
\begin{equation}\label{H.21c}
\{q_j,p_l\}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial q_k}{\partial q_j}
\dfrac{\partial p_k}{\partial p_l}-\dfrac{\partial p_k}{\partial q_j}
\dfrac{\partial q_k}{\partial p_l}\right)=\zd_{jl}.
\end{equation}
\end{subequations}

Di grande utilit\`a sono le cosiddette {\it parentesi di Poisson}
\begin{equation}\label{H.22}
\tcm{[u,v]_{\bq,\bp}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial u}{\partial q_k}
\dfrac{\partial v}{\partial p_k}-\dfrac{\partial u}{\partial p_k}
\dfrac{\partial v}{\partial q_k}\right)},
\end{equation}
le quali soddisfano la relazione di antisimmetria
$$[u,v]=-[v,u].$$

Le parentesi di Poisson si possono scrivere in forma complessa
\begin{equation}\label{H.23}
[u,v]_{\bq,\bp}=-i\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial u}{\partial z_k}
\dfrac{\partial v}{\partial\overline{z}_k}-\dfrac{\partial v}{\partial z_k}
\dfrac{\partial u}{\partial\overline{z}_k}\right),
\end{equation}
essendo
$$z_k=\dfrac{q_k+ip_k}{\sqrt{2}},\qquad
\overline{z}_k=\dfrac{q_k-ip_k}{\sqrt{2}}.$$

\begin{proposition}\label{th:H.6}
Se $u_1,\ldots,u_{2n}$ rappresentano un sistema di $2n$ funzioni indipendenti
tali che ciascuna $u_l$ sia funzione delle $2n$ coordinate
$q_1,\ldots,q_n$ e $p_1,\ldots,p_n$, allora
\begin{equation}\label{H.24}
\sum_{k=1}^{2n}\,\{u_k,u_j\}[u_k,u_l]=\zd_{jl}.
\end{equation}
\end{proposition}

\begin{proof}
Si pu\`o scrivere
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^{2n}\,\{u_k,u_j\}[u_k,u_l]\\
&=\sum_{k=1}^{2n}\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^n\left[
\dfrac{\partial q_r}{\partial u_k}\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}
-\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}\dfrac{\partial p_r}{\partial u_k}\right]
\left[\dfrac{\partial u_k}{\partial q_s}\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}
-\dfrac{\partial u_l}{\partial q_s}\dfrac{\partial u_k}{\partial p_s}\right].
\end{align*}

Scrivendo la tripla sommatoria come la somma di quattro termini otteniamo per il
primo termine
$$\sum_{r,s=1}^n\,\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}
\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}\sum_{k=1}^{2n}\,
\dfrac{\partial q_r}{\partial u_k}\dfrac{\partial u_k}{\partial q_s}
=\sum_{r,s=1}^n\,\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}
\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}
\underbrace{\dfrac{\partial q_r}{\partial q_s}}_{=\zd_{rs}}=\sum_{r=1}^n\,
\dfrac{\partial u_l}{\partial p_r}\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}.$$
Il quarto termine, ottenuto scambiando $q_r$ e $p_r$, \`e
$$\sum_{r,s=1}^n\,\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}
\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}\sum_{k=1}^{2n}\,
\dfrac{\partial p_r}{\partial u_k}\dfrac{\partial u_k}{\partial q_s}
=\sum_{r,s=1}^n\,\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}
\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}
\underbrace{\dfrac{\partial p_r}{\partial q_s}}_{=\zd_{rs}}=\sum_{r=1}^n\,
\dfrac{\partial u_l}{\partial q_r}\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}.$$
La loro somma risulta ad essere uguale a
$$\sum_{r=1}^n\left(\dfrac{\partial u_l}{\partial p_r}
\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}+\dfrac{\partial u_l}{\partial q_r}
\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}\right)=\dfrac{\partial u_l}{\partial u_j}
=\zd_{jl}.$$
A parte il segno, il secondo termine vale
$$\sum_{r,s=1}^n\underbrace{\sum_{k=1}^{2n}\,\dfrac{\partial q_r}{\partial u_k}
\dfrac{\partial u_k}{\partial p_s}}_{=0}\dfrac{\partial p_r}{\partial u_j}
\dfrac{\partial u_l}{\partial q_s}=0,$$
mentre, trascurando il  segno, il terzo termine vale
$$\sum_{r=1}^n\sum_{s=1}^n\underbrace{\sum_{k=1}^{2n}\,
\dfrac{\partial p_r}{\partial u_k}\dfrac{\partial u_k}{\partial q_s}}_{=0}
\dfrac{\partial q_r}{\partial u_j}\dfrac{\partial u_l}{\partial p_s}=0.$$
La somma dei quattro termine produce la \eqref{H.24}.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{th:H.7}
Valgono le seguenti relazioni delle parentesi fondamentali di Poisson:
\begin{subequations}\label{H.25}
\begin{align}
[p_j,q_l]&=-\zd_{jl},\label{H.25a}\\ [q_l,p_j]&=\zd_{jl},\label{H.25b}\\
[p_j,p_l]&=0,\label{H.25c}\\ [q_j,q_l]&=0.\label{H.25d}
\end{align}
\end{subequations}
\end{corollary}

\begin{proof} Se si prendono nella \eqref{H.24} $(u_j,u_l)$ ordinatamente
uguale a ciascuna delle seguenti coppie $(q_j,q_l)$, $(p_j,p_l)$, $(q_j,p_l)$ e
$(p_j,q_l)$, si ottengono le seguenti relazioni:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n\left(\{q_k,q_j\}[q_k,q_l]+\{p_k,q_j\}[p_k,q_l]\right)&=\zd_{jl},\\
\sum_{k=1}^n\left(\{q_k,p_j\}[q_k,p_l]+\{p_k,p_j\}[p_k,p_l]\right)&=\zd_{jl},\\
\sum_{k=1}^n\left(\{q_k,q_j\}[q_k,p_l]+\{p_k,q_j\}[p_k,p_l]\right)&=0,\\
\sum_{k=1}^n\left(\{q_k,p_j\}[q_k,q_l]+\{p_k,p_j\}[p_k,q_l]\right)&=0,
\end{align*}
che, grazie alle uguaglianze \eqref{H.21} valide per le parentesi di Lagrange,
implicano le rispettive identit\`a \eqref{H.25}.
\end{proof}

Il seguente teorema esprime il fatto che le parentesi di Poisson non dipendono
dal sistema di coordinate canoniche  nel quale sono espresse.

\begin{theorem}\label{th:H.8}
Siano $(\bq,\bp)$ e $(\bQ,\bP)$ coordinate canoniche dello stesso sistema e
$F$ e $G$ due funzioni arbitrarie di tali coordinate. Allora
\begin{equation}\label{H.26}
[F,G]_{\bq,\bp}=[F,G]_{\bQ,\bP}.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Si calcola facilmente:
\begin{align*}
[F,G]_{\bq,\bp}&=\sum_{j=1}^n\left[\dfrac{\partial F}{\partial q_j}
\dfrac{\partial G}{\partial p_j}-\dfrac{\partial F}{\partial p_j}
\dfrac{\partial G}{\partial q_j}\right]\\ &=\sum_{j,k=1}^n\left[
\dfrac{\partial F}{\partial q_j}\!\!\left(\dfrac{\partial G}{\partial Q_k}
\dfrac{\partial Q_k}{\partial p_j}+\dfrac{\partial G}{\partial P_k}
\dfrac{\partial P_k}{\partial p_j}\right)\!-\!\dfrac{\partial F}{\partial p_j}
\!\!\left(\dfrac{\partial G}{\partial Q_k}\dfrac{\partial Q_k}{\partial q_j}
+\dfrac{\partial G}{\partial P_k}\dfrac{\partial P_k}{\partial q_j}\right)
\right]\\ &=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial G}{\partial Q_k}[F,Q_k]_{\bq,\bp}
+\dfrac{\partial G}{\partial P_k}[F,P_k]_{\bq,\bp}\right).
\end{align*}
Sostituendo $F\mapsto Q_l$ e $G\mapsto F$ si ottiene
$$[F,Q_l]_{\bq,\bp}=-[Q_l,F]_{\bq,\bp}
=-\sum_{k=1}^n\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial Q_k}[Q_l,Q_k]_{\bq,\bp}
+\dfrac{\partial F}{\partial P_k}[Q_l,P_k]_{\bq,\bp}\right)
=-\dfrac{\partial F}{\partial P_l}.$$
Analogamente, sostituendo $F\mapsto P_l$ e $G\mapsto F$ si ottiene
$$[F,P_l]_{\bq,\bp}=-[P_l,F]_{\bq,\bp}=-\sum_{k=1}^n\!\left(
\dfrac{\partial F}{\partial Q_k}[P_l,Q_k]_{\bq,\bp}
+\dfrac{\partial F}{\partial P_k}[P_l,P_k]_{\bq,\bp}\right)
=\dfrac{\partial F}{\partial Q_l}.$$
Di conseguenza,
\begin{equation}\label{H.27}
[F,G]_{\bq,\bp}=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial F}{\partial Q_k}
\dfrac{\partial G}{\partial P_k}-\dfrac{\partial F}{\partial P_k}
\dfrac{\partial G}{\partial Q_k}\right)=[F,G]_{\bQ,\bP},
\end{equation}
che \`e quanto volevasi dimostrare.
\end{proof}

Il Teorema \ref{th:H.8} giustifica la scelta di non far comparire i pedici
$\bq,\bp$ nelle parentesi di Poisson:
$$[u,v]\deff[u,v]_{\bq,\bp}=[u,v]_{\bQ,\bP},$$
qualunque siano le coordinate canoniche. La parentesi di Poisson \`e una forma
bilineare antisimmetrica, poich\`e ha le seguenti propriet\`a:
\begin{align*}
[u,u]&=0,\\ [u+v,w]&=[u,w]+[v,w],\\ [u,v]&=-[v,u].
\end{align*}
Inoltre, dalla \eqref{H.27} \`e immediato che
$$[u,vw]=[u,v]w+v[u,w].$$

Applichiamo le identit\`a
\begin{equation}\label{H.28}
[F,q_j]=-\dfrac{\partial F}{\partial p_j},\qquad
[F,p_j]=\dfrac{\partial F}{\partial q_j},
\end{equation}
alla hamiltoniana $\CH$. Risultano le equazioni di Hamilton
\begin{subequations}\label{H.29}
\begin{align}
[q_j,\CH]&=\dot{q}_j,\label{H.29a}\\ [p_j,\CH]&=\dot{p}_j.\label{H.29b}
\end{align}
\end{subequations}
Di conseguenza, per qualunque funzione $u=u(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n,t)$
si ha
\begin{align*}
\dfrac{du}{dt}&=\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial u}{\partial q_j}\dot{q}_j
+\dfrac{\partial u}{\partial p_j}\dot{p}_j\right)
+\dfrac{\partial u}{\partial t}\\
&=\sum_{j=1}^n\left(\dfrac{\partial u}{\partial q_j}
\dfrac{\partial\CH}{\partial p_j}-\dfrac{\partial u}{\partial p_j}
\dfrac{\partial\CH}{\partial q_j}\right)+\dfrac{\partial u}{\partial t}\\
&=[u,\CH]+\dfrac{\partial u}{\partial t}.
\end{align*}
Abbiamo dimostrato che rimane valida la seguente equazione di evoluzione
\begin{equation}\label{H.30}
\tcm{\dfrac{du}{dt}=[u,\CH]+\dfrac{\partial u}{\partial t}}.
\end{equation}
Ricordando che $[\CH,\CH]=0$, si trova anche che:
$$\dfrac{d\CH}{dt}=\dfrac{\partial\CH}{\partial t}.$$
Abbiamo anche un'altro risultato: {\it Una quantit\`a che non dipende
esplicitamente dal tempo \`e una costante di moto se e solo se la sua parentesi
con l'hamiltoniana si annulla.} In altre parole:
$$\text{Se}\ \dfrac{\partial u}{\partial t}=0,\ \text{allora}:\quad
\dfrac{du}{dt}=0\Longleftrightarrow[u,\CH]=0.$$

Vale anche il seguente risultato.

\begin{theorem}[Identit\`a di Jacobi]\label{th:H.9}
Siano $u,v,w$ tre funzioni delle variabili $q_1,\ldots,q_n$ e $p_1,\ldots,p_n$.
Allora
\begin{equation}\label{H.31}
[u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]]=0.
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Si calcola facilmente:
\begin{align*}
&[u,[v,w]]+[v,[w,u]]=[u,[v,w]]-[v,[u,w]]\\ &=\sum_{j=1}^n\left[
\dfrac{\partial u}{\partial q_j}\dfrac{\partial}{\partial p_j}\sum_{k=1}^n\left[
\dfrac{\partial v}{\partial q_k}\dfrac{\partial w}{\partial p_k}
\!-\!\dfrac{\partial v}{\partial p_k}\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right]-
\dfrac{\partial u}{\partial p_j}\dfrac{\partial}{\partial q_j}\sum_{k=1}^n\left[
\dfrac{\partial v}{\partial q_k}\dfrac{\partial w}{\partial p_k}\!-\!
\dfrac{\partial v}{\partial p_k}\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right]\right]\\
&-\sum_{j=1}^n\left[
\dfrac{\partial v}{\partial q_j}\dfrac{\partial}{\partial p_j}\sum_{k=1}^n\left[
\dfrac{\partial u}{\partial q_k}\dfrac{\partial w}{\partial p_k}
\!-\!\dfrac{\partial u}{\partial p_k}\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right]-
\dfrac{\partial v}{\partial p_j}\dfrac{\partial}{\partial q_j}\sum_{k=1}^n\left[
\dfrac{\partial u}{\partial q_k}\dfrac{\partial w}{\partial p_k}\!-\!
\dfrac{\partial u}{\partial p_k}\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right]\right]\\
&=D_uD_vw-D_vD_uw,
\end{align*}
essendo
$$D_v=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial v}{\partial q_k}
\dfrac{\partial}{\partial p_k}-\dfrac{\partial v}{\partial p_k}
\dfrac{\partial}{\partial q_k}\right).$$

Gli operatori differenziali ausiliari $D_u$ e $D_v$ hanno la forma
$$D_v=\sum_{r=1}^{2n}\,\za_r\dfrac{\partial}{\partial\xi_r},\qquad
D_u=\sum_{s=1}^{2n}\,\zb_s\dfrac{\partial}{\partial\eta_s},$$
dove $\za_r$ e $\zb_s$ possono essere espresse in $u$ e $v$ e loro derivate
rispetto alle coordinate $q_j$ e $p_l$. In tal caso
\begin{align*}
&D_uD_vw-D_vD_uw=\sum_{r,s=1}^{2n}\left[\zb_s\dfrac{\partial}{\partial\eta_s}
\left(\za_r\dfrac{\partial w}{\partial\xi_r}\right)
-\za_r\dfrac{\partial}{\partial\xi_r}\left(\zb_s\dfrac{\partial w}
{\partial\eta_s}\right)\right]\\
&=\sum_{r,s=1}^{2n}
\left[\zb_s\za_r\dfrac{\partial^2w}{\partial\eta_s\partial\xi_r}
-\za_r\zb_s\dfrac{\partial^2w}{\partial\xi_r\partial\eta_s}\right]
+\sum_{r,s=1}^{2n}\left[\zb_s\dfrac{\partial\za_r}{\partial\eta_s}
\dfrac{\partial w}{\partial\xi_r}-\za_r\dfrac{\partial\zb_s}{\partial\xi_r}
\dfrac{\partial w}{\partial\eta_s}\right]\\
&=\sum_{r,s=1}^{2n}\left[\zb_s\dfrac{\partial\za_r}{\partial\eta_s}
\dfrac{\partial w}{\partial\xi_r}-\za_r\dfrac{\partial\zb_s}{\partial\xi_r}
\dfrac{\partial w}{\partial\eta_s}\right],
\end{align*}
dove $\xi_r$ e $\eta_s$ sono, separatamente, le variabili $q_1,\ldots,q_n$ e
$p_1,\ldots,p_n$. In altre parole
$$[u,[v,w]]+[v,[w,u]]=\sum_{k=1}^n\left(A_k\dfrac{\partial w}{\partial p_k}
+B_k\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right),$$
dove $A_k$ e $B_k$ sono funzioni di $u$ e $v$ che non dipendono da $w$. Nei
casi $w=p_l$ e $w=q_l$ abbiamo rispettivamente
\begin{align*}
[u,[v,q_l]]+[v,[q_l,u]]=A_l,\\ [u,[v,p_l]]+[v,[p_l,u]]=B_l.
\end{align*}
Grazie alle \eqref{H.28}, quest'ultime equazioni si possono scrivere nella forma
\begin{align*}
A_l&=\left[u,-\dfrac{\partial v}{\partial p_l}\right]
+\left[v,\dfrac{\partial u}{\partial p_l}\right]
=-\dfrac{\partial}{\partial p_l}[u,v],\\
B_l&=\left[u,\dfrac{\partial v}{\partial q_l}\right]
+\left[v,-\dfrac{\partial u}{\partial q_l}\right]
=+\dfrac{\partial}{\partial q_l}[u,v].
\end{align*}
Quindi
$$[u,[v,w]]+[v,[w,u]]=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{\partial}{\partial q_k}[u,v]
\dfrac{\partial w}{\partial p_k}-\dfrac{\partial}{\partial p_k}[u,v]
\dfrac{\partial w}{\partial q_k}\right)=[[u,v],w],$$
che si voleva dimostrare.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{th:H.10}
Siano $u$ e $v$ due variabili che non dipendono esplicitamente dal tempo e che
sono costanti del moto. Allora la loro parentesi di Poisson \`e una costante del
moto.
\end{corollary}

\begin{proof}
Se $u$ e $v$ non dipendono esplicitamente dal tempo, anche $[u,v]$ non dipende
esplicitamente dal tempo. Inoltre,
\begin{align*}
\dfrac{d}{dt}[u,v]&=[[u,v],\CH]=-[\CH,[u,v]]\\
&\stackrel{\eqref{H.31}}{=}[u,[v,\CH]]]+[v,[\CH,u]]\\
&\stackrel{\eqref{H.30}}{=}\left[u,\dfrac{dv}{dt}\right]
-\left[v,\dfrac{du}{dt}\right]=0.
\end{align*}
Quindi $\tfrac{d}{dt}[u,v]=[[u,v],\CH]=0$, come si voleva dimostrare.
\end{proof}

\section{Equazione di Hamilton-Jacobi}\label{sec:H.7}

Supponiamo che esista una trasformazione canonica dal sistema nelle vecchie
coordinate $\bq=(q_1,\ldots,q_n)$ e $\bp=(p_1,\ldots,p_n)$ allo stesso sistema
nella nuove coordinate $\bQ=(Q_1,\ldots,Q_n)$ e $\bP=(P_1,\ldots,P_n)$ tale che
le nuove coordinate diventano costanti del moto. Indicando con $\CK$
l'hamiltoniana nelle nuove variabili, abbiamo
$$\dfrac{\partial\CK}{\partial P_j}=\dot{Q}_j=0,\qquad
-\dfrac{\partial\CK}{\partial Q_j}=\dot{P}_j=0,$$
dove $j=1,\ldots,n$. $\CK$ \`e legata alla vecchia hamiltoniana $\CH$ e alla
funzione generatrice $\CF$ dalla relazione
$$\CK=\CH+\dfrac{\partial\CF}{\partial t},$$
e quindi $\CK$ si annulla se $\CF$ soddisfa all'equazione
\begin{equation}\label{H.32}
\CH(\bq,\bp,t)+\dfrac{\partial\CF}{\partial t}=0.
\end{equation}
Prendendo come funzione generatrice $\CF$ la funzione $\CF_2(\bq,\bP,t)$
(cio\`e prendendo $\CF=\CF_2(\bq,\bP,t)$), per la \eqref{H.16} si ha
$$p_j=\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_j},\qquad j=1,\ldots,n.$$
Quindi la \eqref{H.32} fornisce la cosiddetta {\it equazione di
Hamilton-Jacobi}:
\begin{equation}\label{H.33}
\tcm{\CH\left(q_1,\ldots,q_n,\dfrac{\partial\CF_2}{\partial q_1},\ldots,\dfrac
{\partial\CF_2}{\partial q_n},t\right)+\dfrac{\partial\CF_2}{\partial t}=0}.
\end{equation}
L'equazione \eqref{H.33} \`e un'equazione differenziale alle derivate parziali
nelle variabili $q_1,\ldots.q_n,t$ per la funzione generatrice $\CF_2$. Di
solito la soluzione della \eqref{H.33} viene indicata con $\CS$ ed \`e chiamata
{\it funzione principale di Hamilton}.

L'equazione di Hamilton-Jacobi \eqref{H.33} \`e di primo ordine nelle $n+1$
variabili $q_1,\ldots,q_n,t$ e quindi cerchiamo una soluzione (abbastanza)
generale contenente $n+1$ costanti d'integrazione indipendenti
$\za_1,\ldots,\za_n,\za_{n+1}$.\footnote{La soluzione contiene $n+1$
{\it funzioni} generali indipendenti. Quindi ci limitiamo ad una sottoclasse di
soluzioni.} Poich\`e la funzione principale di Hamilton
$\CS$ non figura nella \eqref{H.33} ma appaiono soltanto le sue derivate
parziali di primo ordine, una delle costanti pu\`o essere utilizzata per
rendersi conto del fatto che con $\CS$ anche $\CS+\za$ \`e soluzione, essendo
$\za$ una qualunque costante. Lasciando fuori della discussione tale costante,
la soluzione completa della \eqref{H.33} avr\`a la forma
\begin{equation}\label{H.34}
\CS=\CS(q_1,\ldots,q_n,\za_1,\ldots,\za_n,t)+\text{cost}.,
\end{equation}
dove le costanti d'integrazione $\za_1,\ldots,\za_n$ sono i nuovi momenti
(costanti) $P_j=\za_j$ ($j=1,\ldots,n$). Le $n$ equazioni di trasformazione
\eqref{H.16} possono ora essere scritte nella forma
\begin{equation}\label{H.35}
p_j=\dfrac{\partial\CS(\bq,\bza,t)}{\partial q_j},\qquad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
essendo $\bza=(\za_1,\ldots,\za_n)$. Le altre $n$ coordinate nuove seguono
dalle equazioni
\begin{equation}\label{H.36}
Q_j=\zb_j=\dfrac{\partial\CS(\bq,\bza,t)}{\partial\za_j},\qquad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
dove le costanti $\bzb=(\zb_1,\ldots,\zb_n)$ sono ricavabili calcolando il
secondo membro della \eqref{H.36} al tempo iniziale con i noti valori delle
$q_j$. Si possono poi invertire le equazioni \eqref{H.36} per ricavare
$$\bq=\bq(\bza,\bzb,t).$$

Calcolando la derivata della $\CS$ rispetto a $t$ otteniamo [usando le
\eqref{H.32}, \eqref{H.33} e \eqref{H.34}]
$$\dfrac{d\CS}{dt}=\sum_{j=1}^n\,\dfrac{\partial\CS}{\partial q_j}\dot{q}_j
+\dfrac{\partial\CS}{\partial t}=\sum_{j=1}^n\,p_j\dot{q}_j-\CH=\CL.$$
Quindi la funzione principale di Hamilton \`e una primitiva (rispetto a $t$)
della lagrangiana.

\begin{example}[Oscillatore armonico]\label{th:H.11}
Per una costante positiva $k$, sia
$$\CH(q,p)=\dfrac{p^2}{2m}+\tfrac{1}{2}kq^2,$$
essendo $m$ la massa della particella. Sostituendo $p=(\partial\CS/\partial q)$,
si trova l'equazione di Hamilton-Jacobi
$$\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial\CS}{\partial q}\right)^2+\dfrac{kq^2}{2}
+\dfrac{\partial\CS}{\partial t}=0.$$
Ponendo
$$\CS(q,\za,t)=W(q,\za)-\za t,$$
si pu\`o eliminare il tempo $t$ e arrivare all'equazione differenziale ordinaria
$$\dfrac{1}{2m}\left(\dfrac{\partial W}{\partial q}\right)^2+\dfrac{kq^2}{2}
=\za,$$
con la costante $\za>0$ {\rm(}essendo $q\in\R${\rm)}. Quindi
$$W=\sqrt{mk}\int dq\,\sqrt{\dfrac{2\za}{k}-q^2},\qquad
\CS=\sqrt{mk}\left(\int dq\,\sqrt{\dfrac{2\za}{k}-q^2}\right)-\za t.$$
Dunque
$$\zb=\dfrac{\partial\CS}{\partial\za}=\sqrt{\dfrac{m}{k}}\int
\dfrac{dq}{\sqrt{\dfrac{2\za}{k}-q^2}}-t,$$
che implica:
$$t+\zb=-\sqrt{\dfrac{m}{k}}\,\arccos\left(q\sqrt{\dfrac{k}{2\za}}\right).$$
Ponendo $\zo=\sqrt{k/m}$, si pu\`o invertire quest'ultima equazione:
$$q=\sqrt{\dfrac{2\za}{k}}\,\cos[\zo(t+\zb)].$$
Prendendo in considerazione i dati iniziali
$$\za=\dfrac{p_0^2}{2m}+\tfrac{1}{2}kq_0^2,\qquad\cos[\zo\zb]=q_0
\left[q_0^2+\dfrac{p_0^2}{km}\right]^{-1/2},$$
e sfruttando il fatto che
$$p=\dfrac{\partial\CS}{\partial q}=\sqrt{mk}\,\sqrt{\dfrac{2\za}{k}-q^2},$$
si ottiene
$$q=\sqrt{q_0^2+\dfrac{p_0^2}{km}}\cos[\zo(t+\zb)].$$
\end{example}
\bigskip

L'esempio \ref{th:H.11} suggerisce di separare nell'equazione di Hamilton-Jacobi
la dipendenza di $\CS$ in $\bq$ da quella in $t$, appena $\CH$ non dipenda
esplicitamente dal tempo. In tal caso scriviamo
$$\CS(\bq,\bza,t)=W(\bq,\bza)-\za_1t$$
e riduciamo la \eqref{H.33} all'equazione alle derivate parziali
\begin{equation}\label{H.37}
\tcm{\CH\left(q_1,\ldots,q_n,\dfrac{\partial W}{\partial q_1},\ldots,
\dfrac{\partial W}{\partial q_n}\right)=\za_1},
\end{equation}
nella quale non figura pi\`u il tempo. Ovviamente la costante d'integrazione
$\za_1$ \`e uguale all'hamiltoniana $\CH$, che \`e una costante del moto. La
funzione $W$ si dice {\it funzione caratteristica di Hamilton}. Poich\`e la 
nuova hamiltoniana $\CK$ dipende soltanto da uno dei momenti $\za_j$, si ha
$$\dot{Q}_j=\dfrac{\partial\CK}{\partial\za_j}=\zd_{j1},\qquad j=1,\ldots,n,$$
da cui si ha immediatamente
\begin{equation}\label{H.38}
Q_j=\begin{cases}t+\zb_1\equiv(\partial W/\partial\za_1),&j=1,\\
\zb_j\equiv(\partial W/\partial\za_j),&j=2,\ldots,n.\end{cases}
\end{equation}
La dipendenza della $W$ segue risolvendo l'equazione di Hamilton-Jacobi
\eqref{H.37}. La sua soluzione generale conterr\`a le $n-1$ costanti
d'integrazione $\za_2,\ldots,\za_n$. Utilizzando
$$p_j=\dfrac{\partial W}{\partial q_j},\qquad j=1,2,\ldots,n,$$
si potranno esprimere $\za_2,\ldots,\za_n$ in funzione dei valori iniziali delle
$q_j$ e delle $p_j$. Infine, risolvendo la \eqref{H.38}, si possono trovare le
vecchie coordinate $q_j$ in funzione delle $\za_j$, delle $\zb_j$ e del tempo.
Si noti che in $n-1$ delle equazioni \eqref{H.38} non figura il tempo. Si pu\`o
dunque scegliere una delle $q_j$ come variabile indipendente ed esprimere in
funzione di essa le altre coordinate, risolvendo cos\`{\i} direttamente il
sistema di equazioni indipendenti del tempo e arrivando direttamente alle
equazioni della traiettoria.

\begin{example}[Problema di Keplero]\label{th:H.12}
Sia
$$\CH=\dfrac{1}{2\mu}\left(p_r^2+\dfrac{p_\phi^2}{r^2}
+\dfrac{p_\theta^2}{r^2\sin^2\phi}\right)-\dfrac{k}{r},$$
dove $k=GM_Sm=GM\mu$ \`e una costante positiva e $\mu=M_Sm/(M_S+m)$ \`e la massa
ridotta. Si
ottiene subito l'equazione di Hamilton-Jacobi
\begin{equation}\label{H.39}
\dfrac{1}{2\mu}\left[\left(\dfrac{\partial W}{\partial r}\right)^2
+\dfrac{1}{r^2}\left(\dfrac{\partial W}{\partial\phi}\right)^2
+\dfrac{1}{r^2\sin^2\phi}\left(\dfrac{\partial W}{\partial\theta}\right)^2
\right]-\dfrac{k}{r}=\za_1=E,
\end{equation}
essendo $E$ l'energia totale del sistema e $M=M_S+m$ la massa
Sole-pi\`u-pianeta. Ponendo
$$W(r,\theta,\phi)=W_r(r)+W_\phi(\phi)+W_\theta(\theta),$$
si pu\`o effettuare la separazione delle variabili. Infatti, la \eqref{H.39}
diventa:\footnote{In coordinate sferiche si ha $x=r\sin\phi\cos\theta$,
$y=r\sin\phi\sin\theta$ e $z=r\cos\phi$, e quindi $p_r=\mu\dot{r}$,
$p_\phi=\mu r^2\dot{\phi}$, $p_\theta=\mu r^2(\sin^2\phi)\dot{\theta}$
e $|\dot{\br}|^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2+r^2\dot{\theta}^2\sin^2\phi$.}
\begin{equation}\label{H.40}
\dfrac{1}{2\mu}\left[W_r^\prime(r)^2+\dfrac{1}{r^2}W_\phi^\prime(\phi)^2
+\dfrac{1}{r^2\sin^2\phi}W_\theta^\prime(\theta)^2\right]-\dfrac{k}{r}=E.
\end{equation}
Ricavando $W_\theta^\prime(\theta)^2$ dalla \eqref{H.40}, troviamo
$$W_\theta^\prime(\theta)^2=2\mu Er^2\sin^2\phi+2\mu kr\sin^2\phi
-r^2W_r^\prime(r)^2\sin^2\phi-W_\phi^\prime(\phi)^2\sin^2\phi,$$
possiamo quindi concludere che
$$W_\theta^\prime(\theta)\equiv\za_\theta$$
\`e costante. Sostituendolo tale risultato nella \eqref{H.40}, si ottiene
$$\dfrac{1}{2\mu}\left[W_r^\prime(r)^2+\dfrac{1}{r^2}W_\phi^\prime(\phi)^2
+\dfrac{\za_\theta^2}{r^2\sin^2\phi}\right]-\dfrac{k}{r}=E.$$
Scrivendo
$$W_\phi^\prime(\phi)^2+\dfrac{\za_\theta^2}{\sin^2\phi}=2\mu Er^2+2\mu kr
-r^2W_r^\prime(r)^2,$$
concludiamo che
$$W_\phi^\prime(\phi)^2+\dfrac{\za_\theta^2}{\sin^2\phi}\equiv\za_\phi^2$$
\`e costante. Di conseguenza, $\za_\phi\ge\za_\theta\ge0$ e dunque
$\pi-\phi_0\le\phi\le\phi_0$, essendo $\sin\phi_0=(\za_\theta/\za_\phi)$ per
un angolo $0\le\phi_0\le(\pi/2)$. Infine risulta l'equazione differenziale
ordinaria
$$W_r^\prime(r)^2+\dfrac{\za_\phi^2}{r^2}=2\mu \left(E+\dfrac{k}{r}\right).$$
\end{example}

\section{\tcb{Variabili azione-angolo}}\label{sec:H.8}

In molti campi della fisica sono di rilevante importanza i sistemi periodici.
In tal caso cambia la procedura per risolvere l'equazione di Hamilton-Jacobi.
Invece di utilizzare le costanti $\za_j$, si utilizza un sistema di $n$ costanti
$J_j$ opportunamente definite, funzioni indipendenti dalle $\za_j$ e chiamate
variabili d'azione.

Consideriamo un sistema con un'hamiltoniana che non dipende esplicitamente dal
tempo. Supponiamo che l'equazione di Hamilton-Jacobi per la $W$ sia separabile
relativamente a un sistema di variabili canoniche. Allorch\`e il sistema si
muove, il punto corrispondente descrive, nello spazio delle fasi definito dalle
variabili $\bq=(q_1,\ldots,q_n)$ e $\bp=(p_1,\ldots,p_n)$, la cosiddetta
traiettoria di fase. Si dice che il moto \`e {\it periodico} se la proiezione
della traiettoria su ogni piano $(q_j,p_j)$ risulta periodica nel senso di
un moto a un solo grado di libert\`a.\footnote{Nel caso di un solo grado di
libert\`a, con variabili canoniche $(q,p)$, ambedue le funzioni $q$ e $p$ 
possono essere periodiche in $t$ con le stesso periodo (librazione) o $p$ \`e
una funzione periodica di $q$ (rotazione).} Essendo le variabili separabili,
i moti corrispondenti a queste proiezioni sono tra loro indipendenti. Le
equazioni della trasformazione canonica,
$$p_j=\dfrac{\partial W_j(q_j,\za_1,\ldots,\za_n)}{\partial q_j},\qquad
j=1,\ldots,n,$$
ci consente di ricavare ogni $p_j$ come funzione della corrispondente $q_j$ e 
delle $n$ costanti $\za_1,\ldots,\za_n$:
\begin{equation}\label{H.41}
p_j=p_j(q_j,\za_1,\ldots,\za_n),\qquad j=1,\ldots,n.
\end{equation}
La \eqref{H.41} rappresenta l'equazione della proiezione della traiettoria di
fase sul piano $(q_j,p_j)$. Il moto \`e periodico se la \eqref{H.41} descrive
un'orbita chiusa oppure una funzione periodica di $q_j$. Non \`e necessario che
la frequenza del moto periodico sia la stessa per tutte le coppie $(q_j,p_j)$.

Si definisce {\it variabile d'azione}, corrispondente alla coppia di variabili
$q_j$, $p_j$, la grandezza $J_j$ data da
\begin{equation}\label{H.42}
J_j=\oint p_j\,dq_j,
\end{equation}
dove l'integrazione \`e estesa a un intero periodo di oscillazione o di
rotazione della $q_j$, a secondo dei casi. Si pu\`o anche scrivere
\begin{equation}\label{H.43}
J_j=\oint\dfrac{\partial W_j(q_j,\za_1,\ldots,\za_n)}{\partial q_j}\,dq_j.
\end{equation}
Quindi ogni variabile d'azione risulta funzione solo dalle $n$ costanti
d'integrazione che figurano nella soluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi.
Dall'indipendenza delle coppie $(q_j,p_j)$ si deduce inoltre che le $J_j$ 
costituiscono un sistema di $n$ funzioni indipendenti di $\za_1,\ldots,\za_n$
e che si prestano quindi a essere utilizzate come nuovi momenti costanti.
Esprimendo le $\za_j$ in funzione delle variabili d'azione, si pu\`o porre la
funzione $W$ sotto la forma
$$W=W(q_1,\ldots,q_n,J_1,\ldots,J_n),$$
mentre l'hamiltoniana si presenta come funzione delle sole variabili d'azione:
$$\CH=\za_1=\CH(J_1,\ldots,J_n).$$

Se una delle coordinate separabili \`e ciclica, il suo momento coniugato \`e
costante. L'orbita corrispondente nel piano $(q_j,p_j)$ dello spazio delle fasi \`e allora una linea retta orizzontale. Calcolando, nella definizione
\eqref{H.42}, l'integrale da $0$ a $2\pi$, si ottiene
$$J_j=2\pi p_j$$
per tutte le variabili cicliche.

Le coordinate generalizzate coniugate alle variabili d'azione $J_j$,
$$w_j=\dfrac{\partial W}{\partial J_j},\qquad j=1,\ldots,n,$$
si chiamano {\it variabili angolari}. Le loro equazioni di moto sono
allora\footnote{Al posto di $(q_j,p_j)$ abbiamo $(J_j,w_j)$.}
\begin{equation}\label{H.44}
\dot{w}_j=-\dfrac{\partial\CH(J_1,\ldots,J_n)}{\partial J_j}
\stackrel{\text{\tiny def}}{=}\nu_j(J_1,\ldots,J_n),\qquad j=1,\ldots,n,
\end{equation}
dove $\nu_1,\ldots,\nu_n$ sono delle costanti, funzioni delle variabili
d'azione. Risolvendo le \eqref{H.44} si ottiene
$$w_j=\nu_jt+\zb_j,\qquad j=1,\ldots,n.$$
Le costanti $\nu_1,\ldots,\nu_n$ costituiscono le frequenze associate ai moti
periodici delle $q_1,\ldots,q_n$.

\begin{example}[Oscillatore armonico lineare]\label{th:H.13}
Seguendo l'esempio \ref{th:H.11}, si ha
$$J=\oint p\,dq=\oint\dfrac{\partial W(q,\za)}{\partial q}\,dq=\sqrt{mk}
\oint\sqrt{\dfrac{2\za}{k}-q^2}\,dq.$$
Sostituendo
$$q=\sqrt{\dfrac{2\za}{k}}\,\sin\theta,$$
si ottiene
$$J=2\za\sqrt{\dfrac{m}{k}}\,\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta
=2\pi\za\sqrt{\dfrac{m}{k}}.$$
Dunque
$$\za=\CH=\dfrac{J}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}},\qquad
\nu=\dfrac{\partial\CH}{\partial J}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}
=\dfrac{\zo}{2\pi}.$$
\end{example}

\begin{example}[Problema di Keplero]\label{th:H.14}
Seguendo l'esempio \ref{th:H.12}, calcoliamo le tre variabili d'azione:
\begin{align*}
J_\theta&=\oint p_\theta\,d\theta=\oint\dfrac{\partial W}{\partial\theta}\,
d\theta=\oint W_\theta^\prime(\theta)\,d\theta=\oint\za_\theta\,d\theta,\\
J_\phi&=\oint p_\phi\,d\phi=\oint\dfrac{\partial W}{\partial\phi}\,d\phi
=\oint W_\phi^\prime(\phi)\,d\phi=\oint\sqrt{\za_\phi^2-\dfrac{\za_\theta^2}
{\sin^2\phi}}\,d\phi,\\
J_r&=\oint p_r\,dr=\oint\dfrac{\partial W}{\partial r}\,dr=\oint W_r^\prime(r)\,
dr=\oint\sqrt{2\mu E+\dfrac{2\mu k}{r}-\dfrac{\za_\phi^2}{r^2}}\,dr.
\end{align*}
Utilizzando la ciclicit\`a della variabile $\theta$ si ottiene
$$J_\theta=2\pi\za_\theta=2\pi p_\theta.$$
Poi, utilizzando l'angolo polare della particella nel piano della sua orbita,
si ha per l'energia cinetica:
$$2T=p_r\dot{r}+p_\phi\dot{\phi}+p_\theta\dot{\theta}=p_r\dot{r}+p\dot{\psi},$$
oppure: $p_\phi d\phi=p\,d\psi-p_\theta d\theta$. Di conseguenza,
$$J_\phi=\oint p\,d\psi-\oint p_\theta\,d\theta=2\pi(p-p_\theta)
=2\pi(\za_\phi-\za_\theta).$$
Infine,
$$J_r=\oint\sqrt{2\mu E+\dfrac{2\mu k}{r}-\dfrac{(J_\phi+J_\theta)^2}
{4\pi^2r^2}}\,dr.$$
Il calcolo di quest'ultimo integrale ci consente di esprimere l'energia $E$
nelle tre costanti $J_r$, $J_\phi$ e $J_\theta$. Poich\`e $E$ dipende solo da
$J_r$ e dalla somma $J_\phi+J_\theta$, le frequenze corrispondenti $\nu_\phi$ e
$\nu_\theta$ saranno quindi uguali e ci\`o indica la presenza di
una degenerazione. Calcolando i residui si trova
$$J_r=-(J_\phi+J_\theta)+\pi k\sqrt{\dfrac{2\mu}{-E}},$$
quest'ultima equazione implica
$$E=-\dfrac{2\pi^2\mu k^2}{(J_r+J_\phi+J_\theta)^2}.$$
Di conseguenza,
$$\nu=\dfrac{\partial\CH}{\partial J_r}=\dfrac{\partial\CH}{\partial J_\phi}
=\dfrac{\partial\CH}{\partial J_\theta}=\dfrac{4\pi^2\mu k^2}
{(J_r+J_\phi+J_\theta)^3},\qquad\tau=\dfrac{1}{\nu}=\pi k\sqrt{\dfrac{\mu}
{-2E^3}},$$
la terza legge di Keplero.
\end{example}
