\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\zl}{\lambda}

\pagestyle{plain}

\author{}
\title{}

\begin{document}
\date{}
\maketitle
\thispagestyle{plain}

{\bf a. Catene di Jordan}. Sia $A$ una trasformazione lineare in $F^n$, essendo
$F=\R$ oppure $F=\C$. Allora lo string $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ si dice
{\it catena di autovettori e autovettori generalizzati} (oppure: {\it catena di
Jordan}) di $A$ corrispondente all'autovalore $\zl$ se
$$x_0\neq0,\quad Ax_0=\zl x_0,\ Ax_1=\zl x_1+x_0,\ \ldots,\quad
Ax_{m-1}=\zl x_{m-1}+x_{m-2}.$$
In tal caso i vettori $x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}$ della catena di {\it lunghezza}
$m$ sono linearmente indipendenti.

Infatti, se esistessero scalari $c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}$ tale che
$$c_0x_0+c_1x_1+\ldots+c_{m-1}x_{m-1}=0,$$
allora, applicando $A-\zl I_n$ una, due, tre, fino ad $m-2$ volte, otteniamo
\begin{align*}
c_0x_0+c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+c_4x_4+\ldots+c_{m-2}x_{m-2}+c_{m-1}x_{m-1}&=0,\\
c_1x_0+c_2x_1+c_3x_2+c_4x_3+\ldots+c_{m-2}x_{m-3}+c_{m-1}x_{m-2}&=0,\\
c_2x_0+c_3x_1+c_4x_2+\ldots+c_{m-2}x_{m-4}+c_{m-1}x_{m-3}&=0,\\
\ldots\ldots\ldots\ldots\\
c_{m-1}x_0&=0.
\end{align*}
Poich\`e $x_0\neq0$, si ha $c_{m-1}=0$ e, quindi,
$c_{m-2}=\ldots=c_1=c_0=0$. Di conseguenza, i vettori della catena
di Jordan $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ sono linearmente indipendenti.

Sia $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ una catena di Jordan corrispondente
all'autovalore $\zl$ di $A$. Allora,
$$(A-\zl I_n)x_0=(A-\zl I_n)^2x_1=\ldots=(A-\zl I_n)^mx_{m-1}=0.$$
Infatti, per $j=0,1,\ldots,m-1$ si ha:
$$x_j\in\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^{j+1},\qquad
x_j\notin\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^j,$$
essendo $\text{Ker}\,T=\{x\in F^n:Tx=0\}$ il kernel della trasformazione lineare
$T$.

Siano $\{x_0^s,x_1^s,\ldots,x_{m^s-1}^s\}$ alcune, $r$, catene di Jordan di $A$,
di lunghezze $m_1\ge m_2\ge\ldots\ge m_r$, tali che $x_0^1,\ldots,x_0^r$ sono
linearmente indipendenti. Allora $\{x_j^s:j=0,1,\ldots,m_s-2,\ s=1,2,\ldots,r\}$
\`e linearmente indipendente. Tali catene di Jordan si dicono {\it linearmente
indipendenti}. Infatti, sia
$$\sum_{s=1}^r\sum_{j=0}^{m^s-1}\,c_{s,j}x_j^s=0.$$
Applicando $A-\zl I_n$ ripetutemente, otteniamo una combinazione lineare degli
autovettori linearmente indipendenti $x_0^s$, e dunque i corrispondenti
coefficienti si annullano. Arretrando lungo le successive combinazioni lineari
ottenute applicando $A-\zl I_n$, risultano nulli tutti gli altri coefficienti.
\bigskip

{\bf b. Forme normali di Jordan}. Limitandoci all'autovalore $\zl$ di $A$,
scegliamo una catena di Jordan
$\{x_0^1,x_1^1,\ldots,x_{m^1-1}^1\}$di $A$ di lunghezza massimale $m_1$. Tra gli
autovettore di $A$ corrispondenti all'autovalore $\zl$ e linearmente
indipendenti da $x_0^1$, scegliamo uno, $x_0^2$, che il primo vettore di una
catena di Jordan di $A$ di lunghezza massimale $m_2$ ($\le m_1$), ecc. Essendo
$r=\text{dim}\,\text{Ker}\,(A-\zl I_n)$ ladimensione dell'autospazio, troviamo
$r$ catene di Jordan di $A$ di lunghezze $m_1\ge\ldots m_r\ge1$ tali che i loro
primi vettori $x_0^1,\ldots,x_0^r$ costituiscono una base di
$\text{Ker}\,(A-\zl I_n)$. In tal caso l'unione delle $r$ catene costituisce
una base di $\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^{m_1}=\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^N$ per ogni
$N\ge m_1$. Quest'ultimo sottospazio di $F^n$ ha dimensione
$m_1+\ldots+m_r(\le n)$.

Facendo la stessa costruzione per tutti gli autovalori di $A$, troviamo infine
$r$ catene di Jordan, corrispondenti agli autovalori $\zl_1,\ldots,\zl_r$ (tra
cui si possono essere autovalori ripetuti) e di lunghezze $m-1,\ldots,m_r$.
Infatti, per $s=1,2,\ldots,r$ si ha:
$$x_0\neq0,\quad Ax_0^s=\zl_s x_0^s,\ Ax_1^s=\zl_s x_1^s+x_0^s,\ \ldots,\quad
Ax_{m-1}^s=\zl_s x_{m-1}^s+x_{m-2}^s.$$
In forma matriciale:
$$\begin{pmatrix}Ax_{m^s-1}^s\\ Ax_{m-2}^s\\ \vdots\\ \vdots\\ Ax_2^s\\ Ax_1\\
Ax_0^s\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}\zl_s&1&&&&&\\ &\zl_s&1&&&&\\
&&\zl_s&1&&&\\ &&&\ddots&\ddots&&\\ &&&\zl_s&1&&\\ &&&&\zl_s&1&\\ &&&&&\zl_s&1\\
&&&&&&\zl_s\end{pmatrix}}_{=J_{m^s}(\zl_s)}
\begin{pmatrix}x_{m^s-1}^s\\ x_{m-2}^s\\ \vdots\\ \vdots\\ x_2^s\\ x_1\\ x_0^s
\end{pmatrix}.$$
Riordinando le $r$ catene in ordine decrescente, $x_{m^s-1},\ldots,x_1^s,x_0^s$,
otteniamo per la rappresentazione della trasformazione lineare $A$ rispetto
alla cosiddetta {\it basedi Jordan}:
$$A=\begin{pmatrix}J_{m^1}(\zl_1)&&&&&&\\ &J_{m^2}(\zl_2)&&&&&&\\
&&J_{m^3}(\zl_3)&&&&&&\\ &&&\ddots&&&\\ &&&&J_{m^{m-2}}(\zl_{r-2})&&\\
&&&&&J_{m^{r-1}}(\zl_{r-1})&\\ &&&&&&J_{m^r}(\zl_r)\end{pmatrix},$$
where $J_m(\zl)$ \`e la matrice di ordine $m$ definita da
$$J_m(\zl)=\begin{pmatrix}\zl&1&&&&&\\ &\zl&1&&&&\\ &&\zl&1&&&\\
&&&\ddots&\ddots&&\\ &&&\zl&1&&\\ &&&&\zl&1&\\ &&&&&\zl&1\\ &&&&&&\zl
\end{pmatrix}.$$

\end{document}
