\chapter{Forma Normale di Jordan}\label{ch:jordan}

\`E noto che non tutte le matrici complesse quadrate sono diagonalizzabili. \`E
anche noto che tutte le matrici hermitiane e unitarie sono diagonalizzabili. In
questo appendice introduciamo la forma normale di Jordan che ci consentir\`a di
descrivere le propriet\`a di una matrice che rimangono invarianti sotto una
similarit\`a $A\mapsto S^{-1}AS$.

\section{Catene di Jordan}\label{sec:jordan1}

Sia $A$ una trasformazione lineare in $F^n$, essendo $F=\R$ o $F=\C$. Allora lo
string $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ si dice {\it catena di autovettori
e autovettori generalizzati} (oppure: {\it catena di Jordan}) di $A$
corrispondente all'autovalore $\zl$ se
$$x_0\neq0,\quad Ax_0=\zl x_0,\ Ax_1=\zl x_1+x_0,\ \ldots,\quad
Ax_{m-1}=\zl x_{m-1}+x_{m-2}.$$
In tal caso i vettori $x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}$ della catena di {\it lunghezza}
$m$ sono linearmente indipendenti.

Infatti, se esistessero scalari $c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}$ tale che
$$c_0x_0+c_1x_1+\ldots+c_{m-1}x_{m-1}=0,$$
allora, applicando $A-\zl I_n$ una, due, tre, fino ad $m-2$ volte, otterremmo
\begin{align*}
c_0x_0+c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+c_4x_4+\ldots+c_{m-2}x_{m-2}+c_{m-1}x_{m-1}&=0,\\
c_1x_0+c_2x_1+c_3x_2+c_4x_3+\ldots+c_{m-2}x_{m-3}+c_{m-1}x_{m-2}&=0,\\
c_2x_0+c_3x_1+c_4x_2+\ldots+c_{m-2}x_{m-4}+c_{m-1}x_{m-3}&=0,\\
\ldots\ldots\ldots\ldots\\
c_{m-1}x_0&=0.
\end{align*}
Poich\`e $x_0\neq0$, si ha $c_{m-1}=0$ e, quindi,
$c_{m-2}=\ldots=c_1=c_0=0$. Di conseguenza, i vettori della catena
di Jordan $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ sono linearmente indipendenti.

Sia $\{x_0,x_1,\ldots,x_{m-1}\}$ una catena di Jordan corrispondente
all'autovalore $\zl$ di $A$. Allora,
$$(A-\zl I_n)x_0=(A-\zl I_n)^2x_1=\ldots=(A-\zl I_n)^mx_{m-1}=0.$$
Dunque, per $j=0,1,\ldots,m-1$ si ha:
$$x_j\in\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^{j+1},\qquad
x_j\notin\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^j,$$
essendo $\text{Ker}\,T=\{x\in F^n:Tx=0\}$ il kernel della trasformazione lineare
$T$.

Consideriamo ora, come esempio, la matrice
$$A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix},$$
per cui $\text{Tr}\,A=0$ e $\det(A)=0$. Allora l'unico autovalore \`e $\zl=0$ e
l'unico autovettore \`e (proporzionale a)
$\left(\begin{smallmatrix}2\\-1\end{smallmatrix}\right)$.
Si vede facilmente che $A$ trasforma il vettore
$\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)$ in
$\left(\begin{smallmatrix}2\\-1\end{smallmatrix}\right)$ e quest'ultimo nel
vettore zero. Quindi
$$\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}\right\}$$
\`e una catena di Jordan di $A$ correspondente all'autovalore $\zl=0$.

Siano $\{x_0^s,x_1^s,\ldots,x_{m^s-1}^s\}$ alcune, $r$, catene di Jordan di $A$,
di lunghezze $m_1\ge m_2\ge\ldots\ge m_r$, tali che $x_0^1,\ldots,x_0^r$ sono
linearmente indipendenti. Allora l'unione
$$\{x_j^s:j=0,1,\ldots,m_s-2,\ s=1,2,\ldots,r\}$$
di tutte le $r$ catene di Jordan \`e linearmente indipendente. Infatti, sia
$$\sum_{s=1}^r\sum_{j=0}^{m^s-1}\,c_{s,j}x_j^s=0.$$
Applicando $A-\zl I_n$ ripetutemente, otteniamo una combinazione lineare degli
autovettori linearmente indipendenti $x_0^s$, e dunque i corrispondenti
coefficienti si annullano. Arretrando lungo le successive combinazioni lineari
ottenute applicando $A-\zl I_n$, risultano nulli tutti gli altri coefficienti.

\section{Forme normali di Jordan: Matrici complesse}\label{sec:jordan2}

Limitandoci all'autovalore $\zl$ di $A$, scegliamo una catena di Jordan
$$\{x_0^1,x_1^1,\ldots,x_{m^1-1}^1\}$$
di $A$ di lunghezza massimale $m_1$. Tra gli autovettori di $A$ corrispondenti
all'autovalore $\zl$ e linearmente indipendenti da $x_0^1$, scegliamo uno,
$x_0^2$, che \`e il primo vettore di una catena di Jordan di $A$ di lunghezza
massimale $m_2$ ($\le m_1$), ecc. Essendo
$r=\text{dim}\,\text{Ker}\,(A-\zl I_n)$ la dimensione dell'autospazio, troviamo
cos\`{\i} $r$ catene di Jordan di $A$ con le rispettive lunghezze
$m_1\ge\ldots m_r\ge1$ tali che i loro primi vettori $x_0^1,\ldots,x_0^r$
costituiscono una base di $\text{Ker}\,(A-\zl I_n)$. In tal caso l'unione delle
$r$ catene costituisce una base di
$\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^{m_1}=\text{Ker}\,(A-\zl I_n)^N$ per ogni $N\ge m_1$.
Quest'ultimo sottospazio di $F^n$ ha dimensione $m_1+\ldots+m_r(\le n)$.

Seguendo la stessa costruzione per tutti gli autovalori di $A$, troviamo infine
$r$ catene di Jordan, corrispondenti agli autovalori $\zl_1,\ldots,\zl_r$ (tra
cui si possono essere autovalori ripetuti) e con le rispettive lunghezze
$m_1,\ldots,m_r$.  Infatti, per $s=1,2,\ldots,r$ si ha:
$$x_0^s\neq0,\quad Ax_0^s=\zl_s x_0^s,\ Ax_1^s=\zl_s x_1^s+x_0^s,\ \ldots,\quad
Ax_{m-1}^s=\zl_s x_{m-1}^s+x_{m-2}^s.$$
In forma matriciale:
$$\begin{pmatrix}Ax_{m^s-1}^s\\ Ax_{m-2}^s\\ \vdots\\ \vdots\\ Ax_2^s\\ Ax_1\\
Ax_0^s\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}\zl_s&1&&&&&\\ &\zl_s&1&&&&\\
&&\zl_s&1&&&\\ &&&\ddots&\ddots&&\\ &&&&\zl_s&1&&\\ &&&&&\zl_s&1&\\
&&&&&&\zl_s&1\\ &&&&&&&\zl_s\end{pmatrix}}_{=J_{m^s}(\zl_s)}
\begin{pmatrix}x_{m^s-1}^s\\ x_{m-2}^s\\ \vdots\\ \vdots\\ x_2^s\\ x_1\\ x_0^s
\end{pmatrix}.$$
Riordinando le $r$ catene in ordine decrescente,
$x_{m^s-1}^s,\ldots,x_1^s,x_0^s$, otteniamo per la rappresentazione della
trasformazione lineare $A$ rispetto alla cosiddetta {\it base di Jordan}:
$$A=\begin{pmatrix}J_{m^1}(\zl_1)&&&&&&\\ &J_{m^2}(\zl_2)&&&&&&\\
&&J_{m^3}(\zl_3)&&&&&&\\ &&&\ddots&&&\\ &&&&J_{m^{m-2}}(\zl_{r-2})&&\\
&&&&&J_{m^{r-1}}(\zl_{r-1})&\\ &&&&&&J_{m^r}(\zl_r)\end{pmatrix},$$
dove $J_m(\zl)$ \`e la matrice di ordine $m$ definita da\footnote{Si ha:
$J_1(\zl)=(\zl)$, $J_2(\zl)=\left(\begin{smallmatrix}\zl&1\\0&\zl
\end{smallmatrix}\right)$, $J_3(\zl)=\left(\begin{smallmatrix}\zl&1&0\\0&\zl&1\\
0&0&\zl\end{smallmatrix}\right)$.}
$$J_m(\zl)=\begin{pmatrix}\zl&1&&&&&\\ &\zl&1&&&&\\ &&\zl&1&&&\\
&&&\ddots&\ddots&&\\ &&&&\zl&1&&\\ &&&&&\zl&1&\\ &&&&&&\zl&1\\ &&&&&&&\zl
\end{pmatrix}.$$

Conclusione: \tcb{Ogni matrice quadrata $A$ di ordine $n$ \`e simile alla sua forma
normale di Jordan $J$,
$$A=SJS^{-1},$$
essendo $S$ la matrice di trasformazione dalla base canonica a quella di
Jordan}. Due matrici quadrate $A$ e $\tilde{A}$ sono simili (cio\`e, esiste una
similarit\`a $S$ tale che $\tilde{A}=S^{-1}AS$) se e solo se esse hanno la
stessa forma normale di Jordan (tranne un riordinamento dei blocchi di  Jordan).

\section{Forme normali di Jordan: Matrici reali}\label{sec:jordan3}

Supponiamo che $A$ sia una matrice reale di ordine $n$. Allora i suoi autovalori
sono reali oppure occorrono in coppie di complessi coniugati con la stessa
struttura di Jordan. Il motivo \`e che a ogni catena di Jordan di $A$
correspondente all'autovalore non reale $\zl$ si pu\`o associare una catena di
Jordan corrispondente all'autovalore coniugato $\overline{\zl}$ della stessa
lunghezza. Basta prendere i complessi coniugati di tutti i vettori delle catena
corrispondente a $\zl$ per ottenere una catena correspondente a
$\overline{\zl}$.

Quest'ultima osservazione ci consente a scegliere una base di Jordan per la
matrice reale $A$ in tal modo che gli autovettori e autovettori associati
corrispondenti all'autovalore non reale $\zl$ sono i complessi coniugati degli
autovettori e autovettori associati corrispondenti all'autovalore
$\overline{\zl}$. Scegliendo al posto di ciascuna coppia di vettori coniugati
le loro parti reali e immaginarie e riordinando la nuova base di Jordan in
modo opportuno, si arriva alla forma di Jordan reale di $A$. Per gli
autovalori reali non cambia nulla. Per le coppie $\{\zs\pm i\tau\}$ di
autovalori complessi coniugati, otteniamo matrici di Jordan del tipo
$$J_{2m}(\zs,\tau)=\begin{pmatrix}R(\zs,\tau)&I_2&&&&&\\ &R(\zs,\tau)&I_2&&&&\\
&&R(\zs,\tau)&I_2&&&\\ &&&\ddots&\ddots&&\\ &&&&R(\zs,\tau)&I_2&&\\
&&&&&R(\zs,\tau)&I_2&\\ &&&&&&R(\zs,\tau)&I_2\\ &&&&&&&R(\zs,\tau)
\end{pmatrix},$$
dove
$$R(\zs,\tau)=\begin{pmatrix}\zs&-\tau\\ \tau&\zs\end{pmatrix}.$$
In altre parole, nella forma normale di Jordan la matrice $J_{2m}(\zs,\tau)$
prende il posto della somma diretta
$$\begin{pmatrix}J_m(\zs+i\tau)&0_{m\times m}\\ 0_{m\times m}&J_m(\zs-i\tau)
\end{pmatrix}.$$

