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\author{}
\title{}

\begin{document}
\date{}
\maketitle
\thispagestyle{plain}

\centerline{Temi del corso di Fisica Matematica 2: Versione A}

\begin{itemize}
\item[A1.] Studiare il sistema dinamico $x_{n+1}=\zs(x_n)$ per lo shift ternario
$$\sigma(x)=\begin{cases}3x,&0\le x<\tfrac{1}{3},\\
3x-1,&\tfrac{1}{3}\le x<\tfrac{2}{3},\\ 3x-2,&\tfrac{2}{3}\le x<1,\end{cases}$$
come sistema dinamico. Esistono $p$-cicli per ogni $p$?
\item[A2.] La Toda lattice
$$\ddot{q}_n=e^{-(q_n-q_{n-1})}-e^{-(q_{n+1}-q_n)}$$
come equazione integrabile: Formulazione hamiltoniana, coppia AKNS, risoluzione
del problema di Cauchy, soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

\newpage

\centerline{Temi del corso di Fisica Matematica 2: Versione B}

\begin{itemize}
\item[B1.] Studiare il sistema discreto definito dalla relazione di ricorrenza
$$P_{n+2}(x)=\frac{2x}{n+2}P_{n+1}(x)-\frac{n+1}{n+2}P_n(x),$$
dove $-1\le x\le+1$. Studiare la stabilit\`a e l'instabilit\`a. Per quali valori
di $x$ ci sono $p$-cicli?
\item[B2.] La Korteweg-de Vries modificata (mKdV)
$$u_t+6u^2u_x+u_{xxx}=0$$
come equazione integrabile: Formulazione hamiltoniana, coppia AKNS, risoluzione
del problema di Cauchy, soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

\newpage

\centerline{Temi del corso di Fisica Matematica 2: Versione C}

\begin{itemize}
\item[C1.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}x'=x(2-2y-3x),\\ y'=y(-1+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio.
\item[C2.] La sine-Gordon (SG)
$$u_{xt}=\sin(u)$$
come equazione integrabile: Formulazione hamiltoniana, coppia AKNS, risoluzione
del problema di Cauchy, soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

\newpage

\centerline{Temi del corso di Fisica Matematica 2: Versione D}

\begin{itemize}
\item[D1.] Calcolare dettagliatamente le dimensioni di Hausdorff della curva di
Koch e del tappetto di Sierpi\'{n}ski.
\item[D2.] L'equazione nonlineare di Schr\"odinger (NLS)
$$iu_t+u_{xx}\pm2|u|^2u=0$$
come equazione integrabile: Formulazione hamiltoniana, coppia AKNS, risoluzione
del problema di Cauchy, soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

\newpage

\centerline{Temi del corso di Fisica Matematica 2: Versione E}

\begin{itemize}
\item[E1.] Studiare il sistema dinamico $x_{n+1}=F(x_n)$, dove
$$F(x)=\begin{cases}2rx,&0\le x\le\tfrac{1}{2},\\
2r(1-x),&\tfrac{1}{2}\le x\le1,\end{cases}$$
al variare di $0<r\le1$. Determinare i punti di equilibrio e loro natura. Per
quali $r$ esistono $p$-cicli per ogni $p$?
\item[E2.] La Camassa-Holm (CH)
$$u_t-u_{xxt}+2\zk u_x+3uu_x-2u_xu_{xx}-uu_{xxx}=0$$
come equazione integrabile: Formulazione hamiltoniana, coppia AKNS, risoluzione
del problema di Cauchy, soluzioni solitoniche.
\end{itemize}

\end{document}
