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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{itemize}
\item[1.] La formulazione hamiltoniana del campo elettromagnetico in forma
simplettica.
\item[2.] La Toda lattice come equazione integrabile.
\item[3.] La formulazione hamiltoniana-lagrangiana delle equazioni integrabili.
\item[4.] Punti di equilibrio e loro classificazione.
\item[5.] Il pendolo semplice come sistema dinamico.
\item[6.] Le equazioni di Lotka-Volterra come sistema dinamico.
\item[7.] Metodo di Newton-Raphson (sulla retta) come sistema dinamico.
\item[8.] Lo shift ternario
$$\sigma(x)=\begin{cases}3x,&0\le x<\tfrac{1}{3},\\
3x-1,&\tfrac{1}{3}\le x<\tfrac{2}{3},\\ 3x-2,&\tfrac{2}{3}\le x<1,\end{cases}$$
come sistema dinamico.
\item[9.] L'oscillatore di Lorenz come sistema dinamico.
\item[10.] L'equazione di Van der Pol come sistema dinamico.
\item[11.] Calcolo dettagliato della dimensione di Hausdorff di un frattale.
\item[12.] Coppia AKNS per l'equazione di Korteweg-de Vries modificata.
\item[13.] Risoluzione dell'equazione di Korteweg-de Vries sotto la condizione
iniziale $u(x,0)=e^{-2x}+e^{-3x}$.
\item[14.] Per una matrice reale $A$ di ordine $n$ si consideri il sistema
dinamico
$$\vec{x}^{\,\prime}=A\vec{x}.$$
Sia $E$ una matrice reale e simmetrica di ordine $n$, cio\`e $E^T=E$. Mostrare
che
$$e(\vec{x})=\vec{x}^TE\vec{x}$$
\`e una costante del moto del sistema dinamico $\vec{x}'=A\vec{x}$ se e solo se
$$EA+A^TE=0_{n\times n}.$$
\item[15.] Applicare il metodo di Liapunov per studiare la (in)stabilit\`a del
sistema dinamico
$$x'=y-x^3,\qquad y'=-x^5.$$
Perch\`e non ci sono orbite chiuse? Quale risultato si otterrebbe utilizzando il
metodo di linearizzazione?
\item[16.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}x'=x(2-2y),\\ y'=y(-1+5x+3y).\end{cases}$$
\item[17.] Determinare i punti di equilibrio del sistema di Lotka-Volterra
modificato
$$\begin{cases}x'=x(2-2y-3x),\\ y'=y(-1+5x+3y).\end{cases}$$
Determinare la natura dei punti di equilibrio (impegnativo!).
\item[18.] Dimostrare che il sistema dinamico non autonomo
$$\begin{cases}x'(t)=-2t\,y(t),\\ y'(t)=2t\,x(t),\end{cases}$$
ha orbite chiuse che non corrispondono a soluzioni periodiche.
\item[19.] Si consideri la relazione di ricorrenza
$$P_{n+2}(x)=\frac{2x}{n+2}P_{n+1}(x)-\frac{n+1}{n+2}P_n(x),$$
dove $-1\le x\le+1$. Per quali valori di $x$ ci sono $p$-cicli?
\item[20.] Per $\omega>0$ si consideri l'equazione alle differenze
$$x_{n+2}=-\omega^2x_n.$$
Trovare tutte le soluzioni e tutti i $p$-cicli? Studiarne la (in)stabilit\`a.
Che cosa cambierebbe se aggiungessimo un termine di attrito ($k>0$):
$$x_{n+2}=-kx_{n+1}-\omega^2x_n?$$
\item[21.] Per $h>0$ e $f\in C^1(\R)$ si consideri il sistema dinamico
$$y_{n+1}=y_n+hf'(y_n+hf'(y_n)),$$
il metodo predictor-corrector" per risolvere l'equazione differenziale
$y'=f(y)$ numericamente.  Dimostrare la stabilit\`a del punto di equilibrio
$Y=0$ nel caso $f(y)=-y^3$. Suggerimento: Partendo dal dato iniziale $y_0$ con
$h[y_0]^2<1$, si dimostra che $0<y_{n+1}<y_n$ oppure $0>y_{n+1}>y_n$.
\end{itemize}

\end{document}
