
\chapter{3-ciclo implica caos}

Nel 1964 \v Sarkovs'kii \cite{S} ha dimostrato il teorema di cui omettiamo la
dimostrazione.\footnote{Una dimostrazione elementare si trova in
\cite{LY,BH}.} Introduciamo il seguente ordinamento dei numeri naturali:
$$\begin{matrix}
1&\triangleleft\, 2&\triangleleft\, 2^2&\triangleleft\, 2^3&\triangleleft\, 2^4
&\triangleleft\, \ldots\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
\ldots&\ldots&\triangleleft\, 2^3\cdot 9&\triangleleft\, 2^3\cdot 7
&\triangleleft\, 2^3\cdot 5&\triangleleft\, 2^3\cdot 3\\
\ldots&\ldots&\triangleleft\, 2^2\cdot 9&\triangleleft\, 2^2\cdot 7
&\triangleleft\, 2^2\cdot 5&\triangleleft\, 2^2\cdot 3\\
\ldots&\ldots&\triangleleft\, 2\cdot 9&\triangleleft\, 2\cdot 7
&\triangleleft\, 2\cdot 5&\triangleleft\, 2\cdot 3\\
\ldots&\ldots&\triangleleft\, 9&\triangleleft\, 7&\triangleleft\, 5
&\triangleleft\, 3.
\end{matrix}$$

\begin{theorem}[\v Sarkovs'kii]
Sia $F:\R\to\R$ una funzione continua e supponiamo che la $F$ abbia un
$k$-ciclo. Allora la $F$ ha un'$l$-ciclo per ogni intero $l$ tale che
$l\triangleleft\, k$. In particolare, se esiste un $3$-ciclo per la $F$, allora
esiste un $l$-ciclo per qualunque intero $l$.
\end{theorem}

Il teorema implica l'esistenza di un ciclo di periodo doppio $2p$ se ne esiste
uno di periodo $p$ se essa non \`e una potenza di due. Inoltre, se esiste un
ciclo di periodo $p=2^m\,q$ ($m=0,1,2,\ldots$, $q>1$ dispari), allora esiste un
ciclo di periodo $2^n\,r$ per qualunque $n=0,1,2,\ldots$ e qualunque numero
dispari $r>q$. Il teorema non vale per le mappe $F:\R^m\to\R^m$
multidimensionali.

\begin{example}
Sia $F:[0,1]\to[0,1]$ definita da
$$F(x)=\frac{1-x}{1+ax}$$
per un'opportuna costante $a>0$. In tal caso $-1+\sqrt{1+a}$ \`e l'unico punto
fisso. Inoltre,
$$F^2(x)=F(F(x))=\dfrac{1-\frac{1-x}{1+ax}}{1+a\frac{1-x}{1+ax}}=x.$$
Dunque, tutti i punti di $[0,1]$ tranne $-1+\sqrt{1+a}$ hanno periodo $2$. Non
ci sono punti di altro periodo. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

\begin{example}
Consideriamo la mappa $F:[1,3]\to[1,3]$ definita da
$$F(x)=\begin{cases}x+1,&1\le x\le 2,\\ -2x+7,&2\le x\le 3.\end{cases}$$
Allora
$$F^2(x)=F(F(x))=\begin{cases}-2x+5,&1\le x\le 2,\\ 4x-7,&2\le x\le 2.5,\\
-2x+8,&2.5\le x\le 3;\end{cases}$$
$$F^3(x)=F(F^2(x))=\begin{cases}4x-3,&1\le x\le 1.5,\\ -2x+6,&1.5\le x\le 2,\\
4x-6,&2\le x\le 2.25,\\ -8x+21,&2.25\le x\le 2.5,\\ 4x-9,&2.5\le x\le 3.
\end{cases}$$
Allora $F$ ha il punto fisso $\tfrac{7}{3}$, $F^2$ ha i punti fissi
$\tfrac{5}{3}$, $\tfrac{7}{3}$ e $\tfrac{8}{3}$, e $F^3$ ha i punti fissi $1$,
$2$, $\tfrac{7}{3}$ e $3$. Quindi ci sono due punti di periodo $2$ e tre punti
di periodo $3$. Secondo il Teorema di \v Sarkovs'kii esistono punti di qualunque
periodo. \hfill $\tcm{\Box}$
\begin{figure}[ht]\label{fig:B.3}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}
{\includegraphics{3cycleF123}}
\caption{La mappa $F$ e il suo secondo e terzo iterato.}
\end{figure}
\end{example}

\begin{example}
Esistono degli esempi di mappe unidimensionali che hanno punti di equilibrio
di periodo $5$ ma non di periodo $3$. A tal proposito, si consideri la mappa
$F:[1,5]\to[1,5]$ definita da
$$F(x)=\begin{cases}2x+1,&1\le x\le 2,\\ -x+7,&2\le x\le 3,\\
-2x+10,&3\le x\le 4,\\ -x+6,&4\le x\le 5.\end{cases}$$
Allora la $F$ \`e continua con un unico punto di equilibrio $10/3$. Si verifica
che
$$F^2(x)=F(F(x))=\begin{cases}-4x+8,&1\le x\le 1.5,\\ -2x+5,&1.5\le x\le 2,\\
x-1,&2\le x\le 3,\\ 4x-10,&3\le x\le 3.5,\\ 2x-3,&3.5\le x\le 4,\\
-2x+13,&4\le x\le 5.\end{cases}$$
\begin{figure}[ht]\label{fig:B.1}
\centering\resizebox{.9\textwidth}{!}
{\includegraphics{5cycleF1}\quad\includegraphics{5cycleF2}\quad
\includegraphics{5cycleF3}}
\caption{Grafici delle mappe $F$, $F^2$ e $F^3$. I punti fissi sono i seguenti:
$\tfrac{10}{3}$ per la $F$, $\tfrac{5}{3}$, $\tfrac{10}{3}$ e $\tfrac{13}{3}$
per la $F^2$ e $\tfrac{10}{3}$ per la $F^3$. Inoltre, $F(\tfrac{5}{3})=\tfrac{13}{3}$
e $F(\tfrac{13}{3})=\tfrac{5}{3}$.}
\end{figure}
Inoltre,
$$F^3(x)=F(F^2(x))=\begin{cases}8x-6,&1\le x\le1.25,\\ 4x-1,&1.25\le x\le 1.5,\\
-4x+11,&1.5\le x\le 2,\\ 2x-1,&2\le x\le 3,\\ -4x+17,&3\le x\le 3.25,\\
-8x+30,&3.25\le x\le 3.5,\\ -2x+9,&3.5\le x\le 4,\\ 2x-7,&4\le x\le 4.5,\\
4x-16,&4.5\le x\le 5.\end{cases}$$
Siccome la $F^3$ ha un singolo punto di equilibrio (che, per forza, condivide
con la $F$), non esistono punti di periodo $3$ della $F$.
\begin{figure}[ht]\label{fig:B.2}
\centering\resizebox{.6\textwidth}{!}
{\includegraphics{5cycleF4}\quad\includegraphics{5cycleF5}}
\caption{Grafici delle mappe $F^4$ e $F^5$. I punti fissi sono i seguenti:
$\tfrac{7}{5}$, $\tfrac{5}{3}$, $\tfrac{12}{5}$, $\tfrac{10}{3}$,
$\tfrac{19}{5}$, $\tfrac{13}{3}$ e $\tfrac{23}{5}$ per la $F^4$ e $1$, $2$, $3$,
$\tfrac{10}{3}$, $4$ e $5$ per la $F^5$.}
\end{figure}
Consideriamo ora la $F^4$ (il quarto iterato della $F$):
$$F^4(x)=F^2(F^2(x))=\begin{cases}-8x+13,&1\le x\le 1.125,\\
-16x+22,&1.125\le x\le 1.25,\\ -4x+7,&1.25\le x\le 1.5,\\
4x-5,&1.5\le x\le 1.75,\\ 8x-12,&1.75\le x\le 2,\\ -4x+12,&2\le x\le 2.5,\\
-2x+7,&2.5\le x\le 3,\\ 4x-11,&3\le x\le 3.25,\\ 16x-50,&3.25\le x\le 3.375,\\
8x-23,&3.375\le x\le 3.5,\\ -4x+19,&3.5\le x\le 4,\\ 4x-13,&4\le x\le 4.5,\\
-4x+23,&4.5\le x\le 4.75,\\ -8x+42,&4.75\le x\le 5,\end{cases}$$
mentre
$$\dfrac{7}{5}\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{19}{5}
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{12}{5}
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{23}{5}
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{7}{5};$$
$$\dfrac{5}{3}\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{13}{3}
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}\dfrac{5}{3}.$$
Quindi abbiamo trovato, oltre al punto fisso $\tfrac{10}{3}$, un 4-ciclo e un
2-ciclo. Inoltre,
$$F^5(x)=F^2(F^3(x))=\begin{cases}8x-7,&1\le x\le 1.125,\\
32x-34,&1.125\le x\le 1.1875,\\ 16x-15,&1.1875\le x\le 1.25,\\
-8x+15,&1.25\le x\le 1.5,\\ 8x-9,&1.5\le x\le 1.75,\\
-8x+19,&1.75\le x\le 1.875,\\ -16x+34,&1.875\le x\le 2,\\
8x-14,&2\le x\le 2.25,\\ 4x-5,&2.25\le x\le 2.5,\\ -4x+15,&2.5\le x\le 3,\\
8x-21,&3\le x\le 3.25,\\ -16x+57,&3.25\le x\le 3.3125,\\
-32x+110,&3.3125\le x\le 3.375,\\ -8x+29,&3.375\le x\le 3.5,\\
4x-13,&3.5\le x\le 3.75,\\ 8x-28,&3.75\le x\le 4,\\ -8x+36,&4\le x\le 4.25,\\
-4x+19,&4.25\le x\le 4.5,\\ 4x-17,&4.5\le x\le 4.75,\\
16x-74,&4.75\le x\le 4.875,\\ 8x-35,&4.875\le x\le 5,\end{cases}$$
mentre
$$1\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}3\stackrel{\text{\tiny F}}
{\Longrightarrow}4\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}2
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}5
\stackrel{\text{\tiny F}}{\Longrightarrow}1.$$
Quindi i punti fissi della $F^5$ sono gli interi $1, 2, 3, 4, 5$ pi\`u il punto
fisso $\tfrac{10}{3}$ della $F$. Di conseguenza, la $F$ ha il punto fisso
$\tfrac{10}{3}$, i due punti $\tfrac{5}{3}$ e $\frac{13}{3}$ di periodo $2$,
nessun punto di periodo $3$, i punti $\tfrac{7}{5}$, $\tfrac{12}{5}$,
$\tfrac{19}{5}$ e $\tfrac{23}{5}$ di periodo $4$ e i punti $1,2,3,4,5$ di
periodo $5$. Secondo il Teorema di \v Sarkovs'kii esistono punti di qualunque
periodo tranne $3$. \hfill $\tcm{\Box}$
\end{example}

Il teorema di \v Sarkovs'kii vale soltanto per le funzioni continue che
trasformano un intervallo della retta reale in se stesso. Non vale per i domini
multidimensionali e neppure per le circonferenze. Per esempio, per la rotazione
antiorario di angolo $2\pi/3$ l'intera circonferenza consiste di punti di
periodo $3$, non ci sono punti di altri periodi o punti aperiodici.
