Coordinate ortogonali e Laplaciano in coordinate ortogonali, in particolare
in quelle polari, cilindriche e sferiche
Separazione delle variabili in coordinate cartesiane, polari, cilindriche
e sferiche
Equazioni di Helmholtz, del calore e delle onde nell'intervallo e nel
rettangolo.
ANALISI FUNZIONALE
Spazi di Banach e di Hilbert
Basi ortonormali, processo di Gram-Schmidt, applicazione alle serie di
Fourier
Operatori lineari limitati, loro spettro, operatori autoaggiunti e unitari
EQUAZIONI DIFFERENZIALI E FUNZIONI SPECIALI
Equazioni differenziali del secondo ordine: Esistenza e unicità
delle soluzioni, (in)dipendenza lineare e Wronskiano, metodo della variazione
dei parametri
Risoluzione tramite lo sviluppo in serie di potenze: Metodo di Frobenius,
incluso l'equazione indiciale, ma senza la costruzione della seconda soluzione
linearmente indipendente nel caso di una differenza intera tra gli zeri
dell'equazione indiciale
Funzioni di Bessel: Serie di potenze, andamento in zero e all'infinito,
zeri, ortogonalità, funzioni di Neumann e Hankel, funzioni immaginarie
di Bessel. Senza dimostrazioni delle proprietà degli zeri e della
costante di normalizzazione, senza dimostrazione delle proprietà
asintotiche all'infinito
Funzioni sferiche: definizione, ortogonalità, operatore di
Laplace-Beltrami, tutto quanto in dimensione 2 e 3
Funzioni di Legendre e di Legendre associate: formula di Rodriguez,
equazione differenziale, ortogonalità, ricorrenza, normalizzazione
Polinomi ortogonali classici: Chebyshev, Hermite, Laguerre, come prima,
ma senza conoscere a memoria i dettagli
Funzione gamma, senza il teorema di Bohr-Mollerup
EQUAZIONI INTEGRALI
Limitatezza degli operatori integrali: in L2 e C
Equazioni integrali di Volterra
Principio di Rayleigh-Ritz per le equazioni integrali hermitiane, senza
la dimostrazione dell'esistenza dell'autovalore principale
Teorema di Hilbert-Schmidt
PROBLEMI DI STURM-LIOUVILLE
Problemi di Sturm-Liouville unidimensionali: condizioni al contorno,
proprietà degli autovalori, esempi
Conversione in un'equazione integrale e funzioni di Green unidimensionali
FUNZIONI DI GREEN
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali di secondo ordine
Problemi di Sturm-Liouville multidimensionali: condizione al contorno,
proprietà degli autovalori
Equazioni di Laplace-Poisson (in intervalli, nell'intero spazio, nel
semipiano, nel disco, nella sfera), in dimensione 1-2-3
Equazione di Helmholtz
Equazione delle onde, formula di D'Alembert
EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER
Stati limite e scattering, approssimazione di Born
Equazione di Schrödinger radiale: Separazione delle variabili
iBuca di potenziale, oscillatore armonico, idrogeno
Equazione di Schrödinger sotto le condizioni periodiche, bande e bande
proibite, funzioni di Bloch, zone di Brillouin