Obbiettivi formativi:
Apprendimento dei concetti base della misura e dell'integrazione di Lebesgue. Generalità sugli spazi funzionali e spazi L^p in particolare. Conoscenza della trasformata di Fourier e sue applicazioni a problemi concreti (EDP e teoria dei segnali). Introduzione all'analisi complessa.

Conoscenze richieste:
Programma tradizionale dei corsi di Analisi 1, 2, 3 e 4. Conoscenze di base di geometria (spazi vettoriali, applicazioni lineari, ecc.) e algebra. Conoscenze di base sulla modellizzazione matematica di problemi fisici (es. corda vibrante).

Programma del corso (8 CFU)

1. PREREQUISITI. Spazi funzionali: spazi metrici, completezza, spazi di Banach, teorema delle contrazioni (cd), spazi normati, prodotto scalare, spazi di Hilbert. Esempi. Spazi di successioni. Applicazione del teorema delle contrazioni al problema di Cauchy per un sistema di n equazioni del 1° ordine (esistenza ed unicità, cd).
   Riferimento: [PS] Cap. 3 da p. 117 a p. 126. Da p. 136 a p. 145. Spazi di successioni: p. 148-149. Problema di Cauchy: da p. 208 a 211.
2. PREREQUISITI. Generalità sulla serie di Fourier: definizioni e esempi. Convergenza della serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel (sd) e conseguenze. Teoremi di convergenza puntuale (2.18) e uniforme (2.22), entrambi sd.
   Riferimento: [PS] da p. 170 a p. 188.
3. Misura di Lebesgue degli insiemi di Rⁿ. Insiemi e funzioni misurabili. Esempi, insieme di Cantor. Integrabilità secondo Lebesgue. Proprietà salienti dell'integrale di Lebesgue. Uguaglianza di Parseval.
   Applicazioni: Teorema della convergenza dominata, convergenza monotona, integrabilità sotto il segno di serie e di successione. Derivazione sotto il segno di integrale.
4. Gli spazi L¹ e L². Applicazioni alle serie di Fourier. Prop. 2.1 (sd), Prop. 2.2 (cd), Teor. 2.3 (sd), Teor. 2.4 (sd), Prop. 2.10 (cd), Prop. 2.11 (cd), Prop. 2.12 (cd), Prop. 2.13 (cd), prop. 2.14 (sd), Prop. 3.1 (cd), Prop. 3.2 (cd) Teor. 3.3 (sd), Teor. 3.4 (cd), Cor. 3.5 (cd), Lemma 3.6 (cd), Teor. 3.7 (cd), Cor. 3.8 (cd) e 3.9 (cd), Teor. 3.10 (cd), Teor. 3.17 (cd)
5. Appendice: misura e dimensione. La dimensione degli insiemi frattali.
   Riferimento per i punti 3-4-5: [PS] da p. 377 a p. 421 e da p. 430 a p. 435.
6. Generalità sugli spazi L^p. Definizioni e proprietà di base. Disuguaglianza di Holder (cd), L^p è uno spazio vettoriale (cd), teorema di Fisher-Riesz (cd).
   Riferimento: [BR]: Cap. 4 da p. 83 a p. 91 (escluso teor. IV.9)
7. Introduzione all'Analisi complessa. Generalità sulle funzioni di variabile complessa, funzioni olomorfe, integrazione in campo complesso, formule di Cauchy, teorema di Morera. Cenni sulle serie di potenze, analiticità delle funzioni olomorfe, serie di Laurent e zeri di una funzione olomorfa. Il teorema dei residui e applicazioni. Esempi ed esercizi.
   Riferimento: [DiFF]: Cap. 3 da pag. 39 a pag. 107
8. Trasformata di Fourier. Definizioni e proprietà. Uniforme continuità (cd), teorema di Riemann-Lebesgue (sd) Proprietà generali (teor. 5.1.3, cd). Derivata e Trasformata di Fourier (teor. 5.2.1, cd). Trasformata e convoluzione (teor. 5.3.1, cd). Formula di moltiplicazione (cd). Uguaglianza di Parseval (cd). Insufficienza della trasformata di Fourier e definizione della trasformata di Laplace.
   Riferimenti: [DiFF]: cap. 5, da p. 141 a p. 153. Cap. 6: p. 161, 162, 163.
9. Applicazione della serie di Fourier e della trasformata di Fourier al caso della corda vibrante.
   Riferimento: [MY] p. 635, 636 e 641.
10. Applicazione della trasformata di Fourier alla teoria dei segnali: introduzione al problema e teorema del campionamento di Whittaker-Shannon-Kotel'nikov (cd). Riferimento: [ZA] p. 01-17