ANALISI COMPLESSA E APPLICAZIONI

Programma del corso (in costruzione)

1. richiamo dei numeri complessi
2. serie di potenze nel piano complesso
3. funzioni analitiche, equazioni di Cauchy-Riemann e funzioni armoniche
4. trasformazioni di Möbius
5. integrali di Riemann-Stieltjes e curve rettificabili (richiamo)
6. Teorema di Cauchy (per contorni abbastanza elementari)
7. funzioni intere, Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra (prima dimostrazione)
8. zeri delle funzioni analitiche, principio del massimo
9. Teorema di Cauchy (in generale), indice di una curva chiusa, formula integrale di Cauchy, conteggio degli zeri
10. classificazione delle singolarità, serie di Laurent, Teorema di Casorati-Weierstrass, residui
11. Applicazioni dei residui al calcolo degli integrali definiti
12. principio dell'argomento, Teorema di Rouché, Teorema fondamentale dell'algebra (seconda dimostrazione)
13. Teoremi di Weierstrass e di Hadamard, applicazione a f(z)=sen(z) e alla funzione gamma
14. Teorema di Runge, Teorema di Mittag-Lefler
15. estensione analitica, principio di riflessione (di Schwarz), alcune superficie di Riemann (sqrt(z), log(z))

Testo: John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Graduate Texts in Mathematics 11, Springer, 1973