PROGRAMMA DEL CORSO DI
CALCOLO NUMERICO
CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN INGEGNERIA PER L'AMBIENTE ED IL TERRITORIO
A.A. 2008/2009 - DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ

1. Richiami di Algebra Lineare. Spazi lineari. Spazi normati. Equivalenza delle norme. Principali norme vettoriali. Successioni convergenti e successioni di Cauchy. Spazi di Hilbert: prodotti scalari, norme indotte e ortogonalità. Calcolo matriciale. Determinante e matrice inversa. Autovalori e autovettori. Molteplicità algebrica e geometrica. Quoziente di Rayleigh. Matrici dotate di struttura particolare. Norme matriciali e loro proprietà. Principali norme matriciali naturali. Relazioni tra raggio spettrale e norme matriciali. Problemi ben posti. Condizionamento di un problema.

2. Analisi degli errori e codifica degli algoritmi. Codifica di algoritmi mediante mappe strutturali. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo. Origine degli errori. Errore assoluto e relativo. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata. Insieme dei numeri di macchina. Memorizzazione di un numero reale: troncamento ed arrotondamento. Overflow e underflow. Precisione di macchina. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina. Analisi di perturbazione per le operazioni aritmetiche e loro condizionamento. Cancellazione.

3. Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Condizionamento di un sistema lineare. Sistemi diagonali ed ortogonali. Risoluzione di sistemi lineari triangolari. Algoritmo di triangolarizzazione di Gauss. Fattorizzazione $A=LU$. Pivoting parziale e totale. Matrici di permutazione e fattorizzazione $PA=LU$. Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice. Propagazione degli errori di arrotondamento e crescita del numero di condizionamento nell'algoritmo di Gauss. Fattorizzazione di Cholesky. Risoluzione di un sistema lineare mediante la fattorizzazione $A=QR$. Matrici elementari di Householder. Fattorizzazione $QR$ di Householder. Fattorizzazione $QR$ di una matrice rettangolare. Sistemi lineari sovradeterminati e sottodeterminati. Risoluzione nel senso dei minimi quadrati di sistemi lineari sovradeterminati. Sistema normale e matrice pseudo inversa. Tecniche risolutive basate sulla fattorizzazione di Cholesky e sulla fattorizzazione $QR$.

4. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari. Metodi iterativi lineari stazionari del prim'ordine. Convergenza e consistenza. Condizioni necessarie e sufficienti per la convergenza. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Condizione sufficiente per la convergenza dei due metodi. Criteri di stop. Precondizionamento. Fattorizzazione LU incompleta. Metodi di Richardson. Il metodo del gradiente. Il metodo del gradiente coniugato.

5. Autovalori e autovettori. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Fattorizzazione spettrale. Forma canonica di Schur. Localizzazione degli autovalori. Condizionamento del problema degli autovalori. Il metodo delle potenze e delle potenze inverse con normalizzazione. L'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori. Matrici di Hessenberg.

6. Radici di equazioni non lineari. Ordine di convergenza di un metodo iterativo. Caratterizzazione delle radici multiple. Condizionamento di una radice semplice e di una doppia. Calcolo degli zeri di un polinomio come autovalori della matrice compagna. Il metodo di bisezione. Il metodo di Newton. Rapporto tra ordine di convergenza e molteplicità delle radici. Metodi quasi-Newton: corde e secanti. Iterazioni di punto fisso. Contrattività. Condizioni per la convergenza. Condizione affinché un metodo sia del second'ordine.

7. Approssimazione di funzioni. Formulazione generale del problema dell'interpolazione. Unisolvenza. Enunciati dei teoremi di Taylor e di Weierstrass. Interpolazione polinomiale. Esistenza ed unicità. Polinomio interpolante nella forma di Lagrange. Errore di interpolazione. Influenza del posizionamento dei nodi. Nodi di Chebychev. Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati: il caso discreto. Risoluzione del corrispondente sistema lineare sovradeterminato.

8. Equazioni differenziali ordinarie. Formulazione del problema di Cauchy. Lipschitzianità globale e locale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Metodi alle differenze finite. Metodi impliciti ed espliciti, monostep e multistep. Costruzione di alcune formule alle differenze finite. Errore globale ed errore locale di discretizzazione. Convergenza e stabilità. Consistenza ed ordine. Metodi di Runge-Kutta espliciti. Verifica dell'ordine di convergenza per i metodi di Eulero-Cauchy, Eulero modificato e Heun mediante sviluppo in serie di Taylor dell'errore locale di discretizzazione. Relazione tra numero degli stadi e massimo ordine raggiungibile. Condizione sul passo di integrazione che assicura la contrattività della funzione di iterazione associata ad un metodo implicito. Formule predictor-corrector.

9. Laboratorio. Introduzione a Matlab. Operatori aritmetici. Numeri complessi. Generazione di vettori e matrici. Operatori e funzioni vettoriali e matriciali. Operatori e funzioni che agiscono componente per componente. L'operatore di divisione matriciale. Programmazione mediante scripts e functions. Cicli. Matrici sparse. Istruzioni grafiche elementari per grafici 2D e 3D. Uso di alcune funzioni di libreria. Esempi e simulazioni numeriche relative agli argomenti trattati durante il corso.

Bibliografia

1

G. Rodriguez.
Algoritmi Numerici.
Pitagora Editrice, Bologna, 2008.

2

A. Quarteroni, R. Sacco, and F. Saleri.
Matematica Numerica.
Springer, Milano, 2000.
Seconda edizione.

3

V. Comincioli.
Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni.
McGraw-Hill, Milano, 1993.