REGISTRO DELLE LEZIONI DI
CALCOLO NUMERICO 1
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRICA ED ELETTRONICA
A.A. 2009/2010
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 3. maggio 2010

1.          Lunedì 1/3/2010, 11-13.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Problemi ben posti. Numero di condizionamento. Condizionamento del prodotto tra due numeri reali. Definizione di algoritmo.

2.          Martedì 2/3/2010, 15-16.         ore: 1(3)

Esempi di algoritmi. Stabilità, complessità computazionale ed occupazione di memoria di un algoritmo.

3.          Lunedì 8/3/2010, 11-13.         ore: 2(5)

Complessità computazionale di un algoritmo. Problemi risolubili. Richiami di Algebra Lineare. Spazi vettoriali. Sottospazi. Combinazioni lineari e indipendenza lineare. Basi e dimensione. Esempi di spazi vettoriali.

4.          Martedì 9/3/2010, 15-16.         ore: 1(6)

Spazi normati. Esempi di norme vettoriali. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Norme funzionali con indice 2 e $\infty$. Norme equivalenti. Successioni convergenti.

5.          Giovedì 11/3/2010, 15-17.         ore: 2(8)

Successioni di Cauchy. Spazi completi. Matrici. Aggiunta e trasposta. Operazioni su matrici. Prodotto matriciale e potenza di una matrice. Matrice inversa, determinante, rango e proprietà. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.

6.          Lunedì 15/3/2010, 11-13.         ore: 2(10)

Spettro e raggio spettrale di una matrice. Matrici difettive. Proprietà degli autovalori. Matrici di forma particolare e loro proprietà: Hermitiane, definite positive, unitarie, triangolari, diagonali, a banda, sparse. Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. Norma di Frobenius. Norme naturali. Calcolo della norma naturale con indice $\infty$.

7.          Martedì 16/3/2010, 15-16.         ore: 1(11)

Calcolo della norma naturale con indice $\infty$. Norme matriciali con indice 1 e 2. Norma-2 per matrici simmetriche. Relazione tra raggio spettrale e norme matriciali.

8.          Giovedì 18/3/2010, 15-17.         ore: 2(13)

Relazione tra raggio spettrale e norme matriciali. Sistemi di numerazione in base qualsiasi. Errori assoluti e relativi. Rappresentazione in virgola fissa e in virgola mobile. Segno, mantissa ed esponente di un numero. Insieme dei numeri di macchina. Condizione di normalizzazione. Funzione di memorizzazione. Underflow e overflow. Troncamento. Errore di troncamento.

9.          Lunedì 22/3/2010, 11-13.         ore: 2(15)

Arrotondamento. Errore di arrotondamento. Vantaggi rispetto al troncamento. Arrotondamento unitario. Epsilon di macchina. Standard IEEE 754. Variabili in singola e doppia precisione. Operazioni di macchina e aritmetica non aberrante. Esempi. Propagazione degli errori nel prodotto e rapporto di numeri reali. Condizionamento della somma algebrica. Cancellazione.

10.          Martedì 23/3/2010, 15-16.         ore: 1(16)

Generalità sui sistemi lineari. Condizionamento di un sistema in presenza di perturbazioni sul termine noto. Numero di condizionamento. Condizionamento nel caso generale.

11.          Giovedì 25/3/2010, 15-17.         ore: 2(18)

Proprietà del numero di condizionamento. Esempi. Risoluzione di sistemi con struttura particolare. Sistemi diagonali, ortogonali e triangolari inferiori: proprietà, algoritmi e complessità.

12.          Lunedì 29/3/2010, 11-13.         ore: 2(20)

Risoluzione di sistemi triangolari superiori. Il metodo di triangolarizzazione di Gauss. Analisi di un esempio numerico e studio dei primi due passi del metodo.

E1.          Martedì 30/3/2010, 11-13.         ore: 2(2)

Esercitazione Esercizi su aritmetica di macchina, norme di matrici e condizionamento.

13.          Martedì 30/3/2010, 15-16.         ore: 1(21)

Analisi del passo $k$ dell'algoritmo di Gauss. Descrizione della struttura dati utilizzata. Mappa strutturale dell'algoritmo di Gauss. Complessità ed occupazione di memoria.

14.          Giovedì 8/4/2010, 15-17.         ore: 2(23)

Breakdown dell'algoritmo di Gauss. Matrici a predominanza diagonale stretta. Pivoting parziale e totale. Giustificazione del pivoting sul piano della stabilità numerica. Implementazione del pivoting parziale. Rilevazione della singolarità della matrice. Teorema di Wilkinson. Esempi. Fattorizzazione LU e sua utilizzazione per la risoluzione di un sistema lineare. Calcolo del determinante e della matrice inversa.

15.          Lunedì 12/4/2010, 11-13.         ore: 2(25)

Riepilogo fattorizzazione LU. Matrici di scambio e di permutazione: definizione e proprietà. Fattorizzazione $PA=LU$ e suo uso per risolvere sistemi lineari e calcolare inverse e determinanti. Costruzione pratica della fattorizzazione $PA=LU$. Esempi. Crescita del condizionamento nell'algoritmo di Gauss con pivoting.

E2.          Martedì 13/4/2010, 11-13.         ore: 2(4)

Esercitazione Algoritmo di Gauss. Fattorizzazione $PA=LU$.

16.          Martedì 13/4/2010, 15-16.         ore: 1(26)

Metodi iterativi per sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti. Metodi iterativi del prim'ordine. Convergenza e consistenza. Metodi iterativi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione necessaria e sufficiente per la consistenza. Relazione tra l'errore al passo $k$ e l'errore iniziale.

17.          Giovedì 15/4/2010, 15-17.         ore: 2(28)

Condizione sufficiente e condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Formulazione matriciale e in componenti. Parallelizzabilità. Classi di matrici per cui i metodi convergono. Criteri di arresto.

E3.          Martedì 20/4/2010, 11-13.         ore: 2(6)

Esercitazione Metodi iterativi di Jacobi e Gauss-Seidel.

18.          Lunedì 26/4/2010, 11-13.         ore: 2(30)

Il problema di Cauchy. Espressione integrale della soluzione. Lipchitzianità locale e globale. Esistenza ed unicità della soluzione in piccolo e in grande. Esempi. Formule alle differenze finite. Le formule di Eulero-Cauchy, esplicita ed implicita, e del punto medio. Formule esplicite ed implicite, monostep e multistep.

19.          Martedì 27/4/2010, 15-16.         ore: 1(31)

Formule di Crank-Nicolson, di Heun e formula di Eulero modificata. Numero degli stadi di una formula. Espressione generale delle formule di Runge-Kutta. Errore globale di discretizzazione. Errore locale ed errore di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità. Ordine di una formula alle differenze finite.

E4.          Giovedì 29/4/2010, 11-13.         ore: 2(8)

Esercitazione Errore locale di discretizzazione. Ordine di una formula alle differenze finite. Verifica della consistenza e dell'ordine per le formule di Eulero, di Heun e per la formula di Eulero modificata. Esercizi sulle formule alle differenze finite.

E5.          Lunedì 3/5/2010, 11-13.         ore: 2(10)

Esercitazione Esercizi di riepilogo.

Totale ore: 31 (lezione), 10 (esercitazione)