PROGRAMMA DEL CORSO DI
METODI ITERATIVI PER LA RISOLUZIONE DI MODELLI
DIFFERENZIALI LINEARI E DEBOLMENTE NON LINEARI
DOTTORATO IN INGEGNERIA INDUSTRIALE A.A. 2002/2003
CAGLIARI, 15-19 SETTEMBRE 2003
DOCENTI: PROFF. SEBASTIANO SEATZU E GIUSEPPE RODRIGUEZ

1. Problemi differenziali con assegnate condizioni al contorno. Modelli a derivate ordinarie del 2^o ordine. Modelli a derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico. Richiamo di risultati su esistenza ed unicità della soluzione.

2. Metodi di discretizzazione. Il metodo alle differenze finite per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie lineari del 2^o ordine e per le equazioni a derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico. Considerazioni sull'errore di discretizzazione e sulla stima dell'errore nell'approssimazione della soluzione. Metodi di discretizzazione per la risoluzione di problemi debolmente non lineari a derivate ordinarie e a derivate parziali di tipo ellittico.

3. Metodi di proiezione. Richiami di Analisi Funzionale (operatori in spazi di Hilbert, esistenza dell'operatore inverso limitato, operatori di proiezione). Sottospazi di dimensione finita praticamente utilizzabili. Proiezione del problema differenziale in un sottospazio di dimensione finita e valutazione dell'errore. Equazione di Galerkin. Spazi di Sobolev e definizione di soluzione debole. Risoluzione di un problema modello. Generalizzazione del metodo ad un modello a derivate parziali di tipo ellittico.

4. Metodi iterativi per sistemi non lineari. Richiami di risultati di base. Il metodo iterativo di Newton. Il metodo iterativo di Newton-Jacobi.

5. Metodi iterativi per sistemi lineari. Richiami di Analisi Numerica: stabilità, complessità computazionale e occupazione di memoria di un algoritmo; numero di condizione; aritmetica di macchina; metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari; le fattorizzazioni LU, LL^T e QR. Matrici strutturate e matrici sparse. Metodi iterativi lineari, stazionari del prim'ordine. Condizioni per la loro convergenza. Il metodo di Jacobi. Precondizionamento. La fattorizzazione LU incompleta. Criteri di arresto. Metodi di Richardson. I metodi del gradiente e del gradiente coniugato e loro precondizionamento. Iterazioni in sottospazi di Krylov. Il metodo del gradiente coniugato come metodo di Krylov. L'iterazione di Arnoldi. Proprietà di convergenza riguardanti gli autovalori. L'iterazione di Lanczos. Il metodo GMRES. Cenni sulla risoluzione di sistemi lineari sovradeterminati.

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