REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA, INFORMATICA E DELLE TELECOMUNICAZIONI
6 CFU - A.A. 2023/2024
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 23. dicembre 2023
1.
Martedì 3/10/2023, 15–17. ore:
2(2)
Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti.
Esempi di problemi mal posti.
2.
Mercoledì 4/10/2023, 15–17. ore:
2(4)
Riepilogo problemi ben posti. Numero di condizionamento. Algoritmi:
stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria.
Spazi vettoriali. Esempi.
3.
Venerdì 6/10/2023, 11–14. ore:
3(7)
Sottospazi. Esempi. Gli spazi e . Lo spazio dei polinomi.
Combinazioni lineari. Sottospazio generato da vettori. Indipendenza
lineare. Basi e dimensione. Spazi a dimensione infinita. Esempi. Spazi normati.
Norme vettoriali con indice 1, 2 e . Esempi. Principali norme
utilizzate per le funzioni. Normalizzazione. Norme equivalenti. Convergenza di
successioni di vettori.
4.
Martedì 10/10/2023, 15–17. ore:
2(9)
Riepilogo spazi normati. Successioni di Cauchy. Spazi metrici e spazi di
Banach. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità.
Prodotti scalari canonici di
e di . Il metodo di
ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS).
5.
Mercoledì 11/10/2023, 15–17. ore:
2(11)
Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato. Cenni
sull'importanza numerica del metodo e le sue applicazioni. Matrici. Matrice
trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto
matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione
del prodotto matriciale col prodotto scalare di
e con la norma-2.
Esempi.
6.
Venerdì 13/10/2023, 11–13. ore:
2(13)
Riepilogo calcolo matriciale. Matrici invertibili e proprietà. Determinante:
proprietà e formula di Laplace. Rango. Autovalori e autovettori. Polinomio
caratteristico. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli
autovalori. Cenni sul calcolo degli autovettori. Esercizi.
7.
Martedì 17/10/2023, 15–17. ore:
2(15)
Esercizi di riepilogo. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni
periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per
periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici.
8.
Mercoledì 18/10/2023, 15–17. ore:
2(17)
Riepilogo polinomi trigonometrici. Formule di Werner. Ortogonalità delle
funzioni goniometriche elementari e calcolo delle loro norme. Approssimazione
di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale. Coefficienti di
Fourier. Migliore approssimazione di un segnale nel senso dell'energia (minimi
quadrati).
9.
Venerdì 20/10/2023, 11–14. ore:
3(20)
Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Serie di Fourier
associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro
. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla
convergenza. Funzioni pari e dispari. Serie di Fourier di funzioni pari e
dispari. Esercizi.
10.
Martedì 24/10/2023, 15–17. ore:
2(22)
Riepilogo serie di Fourier. Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di
convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di
decadimento dei coefficienti di Fourier. Motivazione del calcolo di derivate e
integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a
termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla
risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di
un intervallo. Esempi.
11.
Mercoledì 25/10/2023, 15–17. ore:
2(24)
Esercizi sulla risoluzione di equazioni differenziali mediante serie di
Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e
antitrasformata. Funzione di Heaviside. Trasformate di alcune funzioni
elementari: impulso esponenziale troncato pari.
12.
Venerdì 27/10/2023, 11–13. ore:
2(26)
Trasformate elementari: impulso esponenziale troncato, pari e dispari.
Applicazione della linearità. Onda quadra. Funzione
. Delta di Dirac e
sua trasformata. Esempi. Trasformata della Gaussiana. Proprietà della
trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario.
Traslazione nello spazio delle frequenze. Variazione di scala.
13.
Venerdì 3/11/2023, 11–14. ore:
3(29)
Riepilogo trasformata di Fourier. Variazione di scala. Simmetria (trasformata
di una trasformata). Modulazione. Trasformata della derivata di una funzione.
Derivazione nello spazio delle frequenze. Esempi.
14.
Martedì 7/11/2023, 15–17. ore:
2(31)
Convoluzione. Commutatività. La trasformata della convoluzione di due
funzioni è il prodotto delle trasformate. Proprietà della delta di Dirac.
Esercizi.
15.
Mercoledì 8/11/2023, 15–17. ore:
2(33)
Proprietà della delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale
mediante la trasformata di Fourier. Esercizi di riepilogo sulla trasformata di
Fourier.
16.
Venerdì 10/11/2023, 11–12. ore:
1(34)
Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i
coefficienti delle forme reale e complessa.
E1.
Venerdì 10/11/2023, 12–14. ore:
2(2)
Esercitazione Esercizi di riepilogo.
17.
Martedì 21/11/2023, 15–17. ore:
2(36)
Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, simmetriche, definite positive, e loro
proprietà. Matrici ortogonali e unitarie. Proprietà e legame col processo
di Gram-Schmidt. Risoluzione di sistemi ortogonali. Matrici triangolari,
diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e loro memorizzazione. Matrici
tridiagonali e a banda. Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza.
La norma di Frobenius.
18.
Mercoledì 22/11/2023, 15–17. ore:
2(38)
Riepilogo norme matriciali. Norme naturali e proprietà. Espressione della
norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice , 1 e 2. Il
caso delle matrici simmetriche. Esempi. Relazioni tra norme matriciali e raggio
spettrale. Norma della matrice identità. Generalità sui sistemi lineari.
Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della
soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in
presenza di errori sui soli termini noti.
19.
Venerdì 24/11/2023, 11–13. ore:
2(40)
Riepilogo condizionamento dei sistemi lineari. Esempi simbolici e numerici sul
condizionamento. Proprietà del numero di condizionamento. Numero di
condizionamento in norma-2 nel caso generale e per matrici simmetriche.
Condizionamento di un sistema lineare nel caso generale. Esercizio sul calcolo
del numero di condizionamento. Sistemi lineari diagonali e triangolari
inferiori: algoritmo di risoluzione.
20.
Martedì 28/11/2023, 15–17. ore:
2(42)
Sistemi triangolari e superiori: algoritmo di risoluzione, complessità,
occupazione di memoria e condizionamento. Esercizi. Principi di equivalenza per
i sistemi lineari. Triangolarizzazione di un sistema lineare. Applicazione
dell'algoritmo di Gauss in forma tabellare. Esempi. Analisi del primo e del
secondo passo dell'algoritmo di Gauss. Analisi del generico passo
dell'algoritmo di Gauss. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un
pivot nullo.
21.
Mercoledì 29/11/2023, 15–17. ore:
2(44)
Riepilogo del generico passo dell'algoritmo di Gauss. Breakdown
dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo. Algoritmo di Gauss. Complessità
ed occupazione di memoria. Matrici diagonalmente dominanti. Fattorizzazione LU.
Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del determinante
e dell'inversa.
22.
Venerdì 1/12/2023, 11–14. ore:
3(47)
Riepilogo fattorizzazione LU. Pivoting parziale: motivazione. Implementazione
del pivoting parziale. Considerazioni sulla complessità computazionale.
Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Rilevazione della singolarità della
matrice dei coefficienti. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione
. Applicazioni: soluzione di sistemi lineari, calcolo del determinante e
della matrice inversa. Costruzione pratica della fattorizzazione
mediante l'algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Pivoting totale. Esercizi.
23.
Martedì 5/12/2023, 15–17. ore:
2(49)
Motivazione del pivoting: crescita del condizionamento e teorema di Wilkinson
sulla stabilità dell'algoritmo di Gauss. Esercizi di riepilogo sulla
fattorizzazione . Introduzione ai metodi iterativi per la soluzione di
sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti. Cenni sulle matrici a
banda o sparse. Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Metodi
lineari, stazionari, del prim'ordine.
24.
Mercoledì 6/12/2023, 15–17. ore:
2(51)
Condizione sul vettore di iterazione per la consistenza dei metodi iterativi.
Espressione dell'errore al passo in funzione dell'errore iniziale.
Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione
necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi
mediante splitting additivo. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel.
Espressione matriciale dei due metodi. Criteri di arresto: scarto tra
iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, residuo relativo.
Espressione in componenti dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni sulla
parallelizzabilità dei due metodi. Teoremi di convergenza per matrici
simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti.
25.
Martedì 12/12/2023, 15–17. ore:
2(53)
Esercizio di riepilogo sui metodi iterativi. Equazioni differenziali ordinarie:
il problema di Cauchy. Formulazione del problema ed interpretazione geometrica
e fisica. Lipschitzianità e relazione con la continuità e con la
derivabilità. Lipschitzianità globale e locale. Esistenza ed unicità
della soluzione. Formule alle differenze finite.
26.
Mercoledì 13/12/2023, 15–17. ore:
2(55)
Formule alle differenze finite. La formula di Eulero-Cauchy e la formula
implicita di Eulero. Formule esplicite ed implicite. Formula del punto medio.
Formule monostep e multistep. Difficoltà insite nell'uso delle formule
implicite e di quelle multistep. Formula di Crank-Nicolson. Complessità e
numero degli stadi. La formula di Heun e la formula di Eulero modificata.
Esempi. Sistemi di equazioni differenziali e loro espressione in forma
vettoriale.
27.
Venerdì 15/12/2023, 11–13. ore:
2(57)
Riepilogo formule alla differenze finite. Formule a più stadi: i metodi di
Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Riepilogo sistemi. Applicazione della formula di
Eulero al sistema risultante da un problema del second'ordine. Formule di
Runge-Kutta. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza
e stabilità di una formula alle differenze finite. I metodi monostep sono
stabili. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Formula per
il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza e dell'ordine per
la formula di Eulero.
28.
Martedì 19/12/2023, 15–17. ore:
2(59)
Riepilogo errore formule monostep. Verifica della consistenza per alcuni
formule monostep mediante sviluppo in serie dell'errore locale di
discretizzazione. Relazione tra numero di stadi e ordine massimo: la barriera
di Butcher. Contributo degli errori di misura e dell'aritmetica di macchina
all'errore totale. Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di
discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Verifica
dell'ordine per alcune formule a due passi.
29.
Mercoledì 20/12/2023, 15–16. ore:
1(60)
Definizione di zero-stabilità. Polinomio caratteristico associato ad un
metodo multistep. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Esempi.
Rapporto tra numero di passi e ordine di un metodo multistep (prima barriera di
Dahlquist). Metodi predictor-corrector.
Totale ore: 60 (lezione),
2 (esercitazione)
Giuseppe Rodriguez
rodriguez@unica.it