REGISTRO DELLE LEZIONI DI
MATEMATICA APPLICATA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA, INFORMATICA E DELLE TELECOMUNICAZIONI
6 CFU - A.A. 2024/2025
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 13. dicembre 2024

1.         Martedì 1/10/2023, 15–17.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Applicazioni dell'analisi numerica. Problemi ben posti. Esempi di problemi mal posti. Numero di condizionamento. Algoritmi.

2.         Mercoledì 2/10/2024, 15–17.         ore: 2(4)

Stabilità, complessità computazionale, occupazione di memoria. Cenni sull'aritmetica di macchina. Esempi di algoritmi. Spazi vettoriali. Sottospazi. spazi $C[a,b]$ e $L^2[a,b]$. Lo spazio dei polinomi. Combinazioni lineari. Sottospazio generato da $k$ vettori. Indipendenza lineare.

3.         Venerdì 4/10/2024, 11–14.         ore: 3(7)

Riepilogo spazi vettoriali. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e $\infty$. Esempi. Principali norme utilizzate per le funzioni. Normalizzazione. Norme equivalenti. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi metrici e spazi di Banach. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Ortogonalità. Prodotti scalari canonici di ${\mathbb{R}}^n$ e di $L^2[a,b]$. Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS).

4.         Lunedì 7/10/2023, 16–18.         ore: 2(9)

Il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato (MGS). Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt modificato. Cenni sull'importanza numerica del metodo e le sue applicazioni. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Spazio lineare delle matrici. Prodotto matriciale.

5.         Martedì 8/10/2023, 15–17.         ore: 2(11)

Riepilogo calcolo matriciale. Prodotto matriciale e sue proprietà. Matrice identità. Matrice potenza. Relazione del prodotto matriciale col prodotto scalare di ${\mathbb{R}}^n$ e con la norma-2. Esempi. Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.

6.         Venerdì 12/10/2024, 11–14.         ore: 3(14)

Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Cenni sul calcolo degli autovettori. Esercizi di riepilogo. Introduzione alla serie di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari.

7.         Martedì 15/10/2023, 15–17.         ore: 2(16)

Riepilogo polinomi trigonometrici. Formule di Werner. Ortogonalità delle funzioni goniometriche elementari e calcolo delle loro norme. Approssimazione di un vettore mediante proiezione su una base ortogonale. Coefficienti di Fourier. Migliore approssimazione di un segnale nel senso dell'energia (minimi quadrati). Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Serie di Fourier associata ad una funzione definita su un intervallo. Scelta del parametro $\omega$.

8.         Mercoledì 16/10/2024, 15–17.         ore: 2(18)

Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni e commenti sulla convergenza. Funzioni pari e dispari. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esercizi. Funzioni continue e regolari a tratti.

9.         Venerdì 18/10/2024, 11–14.         ore: 3(21)

Teorema di convergenza della serie di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier. Motivazione del calcolo di derivate e integrali di una serie di Fourier. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo. Esempi. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier.

10.         Martedì 22/10/2023, 15–17.         ore: 2(23)

Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa della serie di Fourier. Introduzione alla trasformata di Fourier. Passaggio dalla serie alla trasformata. Trasformata di Fourier e antitrasformata. Funzione di Heaviside.

11.         Mercoledì 23/10/2024, 15–17.         ore: 2(25)

Trasformate di alcune funzioni elementari: impulsi esponenziali troncati destro, sinistro, pari e dispari. Applicazione della linearità. Onda quadra. Funzione ${\mathrm{sinc}}$. Delta di Dirac e sua trasformata. Esempi. Trasformata della Gaussiana. Proprietà della trasformata di Fourier. Linearità. Traslazione nello spazio ordinario.

12.         Venerdì 25/10/2024, 11–14.         ore: 3(28)

Riepilogo trasformata di Fourier. Traslazione nello spazio delle frequenze. Variazione di scala. Simmetria (trasformata di una trasformata). Modulazione. Esercizi.

13.         Martedì 29/10/2023, 15–17.         ore: 2(30)

Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Esempi. Convoluzione. Commutatività. La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate. Esercizi. La delta di Dirac è l'elemento neutro per la convoluzione.

14.         Martedì 5/11/2023, 15–17.         ore: 2(32)

Riepilogo convoluzione. Proprietà della delta di Dirac. Risoluzione di un'equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esercizi di riepilogo sulla trasformata di Fourier.

15.         Mercoledì 6/11/2024, 15–17.         ore: 2(34)

Matrici strutturate. Matrici Hermitiane, simmetriche, definite positive, e loro proprietà. Matrici ortogonali e unitarie. Proprietà e legame col processo di Gram-Schmidt. Matrici triangolari, diagonali e loro proprietà. Matrici sparse e loro memorizzazione. Matrici tridiagonali e a banda.

16.         Venerdì 8/11/2024, 11–13.         ore: 2(36)

Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali e proprietà. Espressione della norma naturale indotta dalla norma vettoriale con indice $\infty$, 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Norma della matrice identità. Esempi.

E1.         Venerdì 8/11/2024, 13–14.         ore: 1(1)

Esercitazione Esercizi di riepilogo in preparazione alla prima prova parziale.

17.         Martedì 19/11/2023, 15–17.         ore: 2(38)

Riepilogo norme matriciali. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Generalità sui sistemi lineari. Rappresentazione matriciale. Condizioni per l'esistenza e l'unicità della soluzione. Condizionamento assoluto e relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Esempio numerico sul condizionamento. Condizionamento di un sistema lineare nel caso generale. Proprietà del numero di condizionamento. Numero di condizionamento in norma-2 nel caso generale e per matrici simmetriche.

18.         Mercoledì 20/11/2024, 15–17.         ore: 2(40)

Riepilogo numero di condizionamento. Esercizio di riepilogo su norme e condizionamento. Sistemi lineari diagonali, ortogonali, triangolari inferiori e superiori: algoritmo di risoluzione, complessità, occupazione di memoria e condizionamento. Introduzione al metodo di Gauss.

19.         Venerdì 22/11/2024, 11–14.         ore: 3(43)

Applicazione dell'algoritmo di Gauss ad un esempio in forma tabellare. Analisi del primo e del secondo passo dell'algoritmo di Gauss. Analisi del generico passo $k$ dell'algoritmo di Gauss. Breakdown dell'algoritmo in presenza di un pivot nullo. Algoritmo di Gauss. Complessità ed occupazione di memoria. Matrici diagonalmente dominanti. Fattorizzazione LU. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del determinante e dell'inversa.

20.         Martedì 26/11/2023, 15–17.         ore: 2(45)

Riepilogo algoritmo di Gauss e fattorizzazione LU. Pivoting parziale: motivazione. Riepilogo del pivoting parziale al passo $k$. Implementazione del pivoting parziale. Considerazioni sulla complessità computazionale. Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Rilevazione della singolarità della matrice dei coefficienti. Pivoting totale. Motivazione del pivoting: crescita del condizionamento e teorema di Wilkinson sulla stabilità dell'algoritmo di Gauss. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione $PA=LU$.

21.         Mercoledì 27/11/2024, 15–17.         ore: 2(47)

Riepilogo pivoting parziale e fattorizzazione $PA=LU$. Applicazioni: soluzione di sistemi lineari, calcolo del determinante e della matrice inversa. Costruzione pratica della fattorizzazione $PA=LU$ mediante l'algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Esercizi di riepilogo sulla fattorizzazione $PA=LU$.

22.         Venerdì 29/11/2024, 11–14.         ore: 3(50)

Introduzione ai metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari. Vantaggi rispetto ai metodi diretti. Cenni sulle matrici a banda o sparse. Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Metodi lineari, stazionari, del prim'ordine. Condizione sul vettore di iterazione per la consistenza del metodo. Espressione dell'errore al passo $k$ in funzione dell'errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza. Costruzione di metodi iterativi mediante splitting additivo. I metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Espressione matriciale dei due metodi. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni, residuo relativo. Espressione in componenti dei metodi di Jacobi e Gauss-Seidel. Cenni sulla parallelizzabilità dei due metodi. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Criteri di stop.

23.         Martedì 3/12/2023, 15–17.         ore: 2(52)

Esercizi di riepilogo sui metodi iterativi. Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy. Formulazione del problema ed interpretazione geometrica e fisica. Lipschitzianità e relazione con la continuità e con la derivabilità. Lipschitzianità globale e locale. Esistenza ed unicità della soluzione. Formule alle differenze finite.

24.         Mercoledì 4/12/2024, 15–17.         ore: 2(54)

Formule alle differenze finite. La formula di Eulero-Cauchy e la formula implicita di Eulero. Formule esplicite ed implicite. Formula del punto medio. Formule monostep e multistep. Difficoltà insite nell'uso delle formule implicite e di quelle multistep. Formula di Crank-Nicolson. Complessità e numero degli stadi. La formula di Heun e la formula di Eulero modificata. Esempi. Sistemi di equazioni differenziali e loro espressione in forma vettoriale.

25.         Venerdì 6/12/2024, 11–14.         ore: 3(57)

Riepilogo formule alle differenze finite. Esercizio sull'applicazione della formula di Heun. Formule a più stadi: i metodi di Runge-Kutta di ordine 3 e 4. Sistemi di equazioni differenziali e loro espressione in forma vettoriale. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Applicazione della formula di Eulero al sistema risultante da un problema del second'ordine. Formule di Runge-Kutta. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. I metodi monostep sono stabili. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Formula per il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell'errore locale di discretizzazione.

26.         Martedì 10/12/2023, 15–17.         ore: 2(59)

Riepilogo errore formule monostep. Esercizi. Relazione tra numero di stadi e ordine massimo: la barriera di Butcher. Contributo degli errori di misura e dell'aritmetica di macchina all'errore totale. Formulazione generale dei metodi multistep. Motivazione per la definizione di errore locale di discretizzazione per una formula multistep.

27.         Mercoledì 11/12/2024, 15–16.         ore: 1(60)

Riepilogo metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Verifica dell'ordine per alcune formule a due passi. Definizione di zero-stabilità. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Esempi. Rapporto tra numero di passi e ordine di un metodo multistep (prima barriera di Dahlquist).

E2.         Mercoledì 11/12/2024, 16–17.         ore: 1(2)

Esercitazione Esercizi sui metodi multistep.

E3.         Venerdì 6/12/2024, 11–12.         ore: 1(3)

Esercitazione Esercizi di riepilogo sulle ODE.

Totale ore: 60 (lezione), 3 (esercitazione)