REGISTRO DELLE LEZIONI DI
METODI NUMERICI PER LA BIOINGEGNERIA
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA BIOMEDICA
6 CFU - A.A. 2024/2025
DOCENTE: PROF. GIUSEPPE RODRIGUEZ
ULTIMO AGGIORNAMENTO: 20. dicembre 2024

1.         Martedì 1/10/2024, 9–11.         ore: 2(2)

Introduzione al corso. Discussione su prerequisiti, modalità d'esame e libro di testo. Richiami. Modelli matematici e numerici. Problemi ben posti e condizionamento. Algoritmi e loro proprietà. Origine e misura degli errori. Spazi lineari e normati.

2.         Giovedì 3/10/2024, 12–14.         ore: 2(4)

Spazi lineari, combinazioni lineari, indipendenza lineare, basi. Spazi normati, metrici, di Banach. Convergenza di successioni di vettori. Spazi di Hilbert, ortogonalità. Matrici, autovalori e autovettori. Sistemi lineari, numero di condizionamento, metodi diretti e iterativi. Fattorizzazione $PA=LU$ di Gauss e sua applicazione alla risoluzione di sistemi. Sistemi rettangolari.

3.         Martedì 8/10/2024, 9–11.         ore: 2(6)

Riepilogo sistemi rettangolari ed esempi. Formulazione di un problema ai minimi quadrati per un sistema sovradeterminato a rango pieno. Approssimazione di funzioni. Approssimazione polinomiale discreta. Interpolazione e approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Esempio applicativo: decadimento radioattivo.

4.         Giovedì 10/10/2024, 12–14.         ore: 2(8)

Approssimazione di dati sperimentali mediante funzioni esponenziali: il caso lineare e quello nonlineare. Calcolo del gradiente di alcune funzioni espresse in forma matriciale. Risoluzione di un problema ai minimi quadrati sovradeterminato a rango pieno. Calcolo del gradiente della norma del residuo. Sistema delle equazioni normali. Matrice pseudoinversa. Proprietà della matrice $A^TA$. Cenni storici sul metodo di Cholesky.

5.         Martedì 15/10/2024, 9–11.         ore: 2(10)

Riepilogo. Costruzione dell'algoritmo di Cholesky. Pseudocodice dell'algoritmo. Utilizzazione per la risoluzione di un problema ai minimi quadrati. Complessità. Fattorizzazione QR completa e compatta. Risoluzione di un sistema singolare quadrato. Conservazione del numero di condizionamento.

6.         Giovedì 17/10/2024, 12–14.         ore: 2(12)

Risoluzione nel senso dei minimi quadrati di un sistema lineare sovradeterminato mediante la fattorizzazione QR. Confronto con la risoluzione tramite le equazioni normali. L'operatore backslash in Matlab. Cenni sul calcolo della fattorizzazione QR con l'algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici elementari di Householder. Calcolo ottimizzato della matrice $H$. Cenni sul fenomeno della cancellazione. Schema dell'algoritmo di Householder per la fattorizzazione QR.

7.         Martedì 22/10/2024, 9–11.         ore: 2(14)

Riepilogo matrici elementari di Householder. Algoritmo di fattorizzazione QR di Householder. Svolgimento dei primi tre passi e descrizione del passo generico. Costruzione della matrice $Q$. Schema dell'algoritmo e mappa strutturale nel caso di una matrice quadrata. Cenni sulla ottimizzazione dell'algoritmo. Algoritmo nel caso di una matrice rettangolare. Complessità computazionale. Matrici elementari di Givens. Schema dell'algoritmo di fattorizzazione QR di Givens. Confronto con l'algoritmo di Householder.

L1.         Giovedì 24/10/2024, 12–14.         ore: 2(2)

Laboratorio Matlab Costruzione di un sistema lineare sovradeterminato con soluzione assegnata. Risoluzione mediante l'operatore backslash, equazioni normali con fattorizzazione di Cholesky, fattorizzazione QR applicata al residuo. Realizzazione di una sperimentazione numerica al variare della dimensione con grafico dell'errore e dei tempi di calcolo. Costruzione di una matrice elementare di Householder.

8.         Martedì 29/10/2024, 9–11.         ore: 2(16)

Riepilogo problemi ai minimi quadrati. Il caso sottodeterminato a rango pieno. Insieme delle soluzioni LSS. Condizione di ortogonalità verificata da una LSS. Trasformazioni lineari, nucleo e immagine. I quattro sottospazi fondamentali di una matrice. Interpretazione della condizione di ortogonalità. Esempio geometrico. Le equazioni normali sono compatibili, ma hanno infinite soluzioni. Espressione di una LSS in termini nel nucleo di $A$. Soluzioni di minima norma. Riformulazione ben posta del sistema lineare come problema di minimo vincolato. Possibili alternative per la scelta di una particolare soluzione in presenza di informazioni a priori di tipo fisico. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Esempio.

9.         Martedì 5/11/2024, 9–11.         ore: 2(18)

Riepilogo sistemi sottodeterminati. Applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange al calcolo della soluzione di minima norma. Equazioni normali del secondo tipo. Matrice pseudoinversa. Risoluzione mediante fattorizzazione di Cholesky e mediante fattorizzazione QR di $A^T$. Cenni sul calcolo in Matlab. Riepilogo autovalori e autovettori. Matrici simili e proprietà. Matrici diagonalizzabili e unitariamente diagonalizzabili.

10.         Giovedì 7/11/2024, 12–14.         ore: 2(20)

Riepilogo matrici simili e diagonalizzabili. Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità. Fattorizzazione spettrale. Matrici Hermitiane e normali. Matrici unitariamente diagonalizzabili. Teorema di Bauer-Fike sulla propagazione degli errori nel calcolo degli autovalori. Esempi numerici di instabilità nel calcolo. Risoluzione di un sistema lineare mediante la fattorizzazione spettrale e rappresentazione della soluzione.

11.         Giovedì 14/11/2024, 12–14.         ore: 2(22)

Riepilogo fattorizzazione spettrale. Decomposizione ai valori singolari. Valori e vettori singolari. Fattorizzazione completa e compatta. Sistema singolare di una matrice, triplette singolari. Confronto con autovalori e autovettori. Esempi. Calcolo della norma-2 di una matrice. Stabilità nel calcolo dei valori singolari. Cenni sul calcolo della SVD. Espressione di una matrice come somma di matrici di rango 1. Introduzione alla principal component analysis (PCA).

12.         Martedì 19/11/2024, 9–11.         ore: 2(24)

Riepilogo proprietà SVD. Principal component analysis. Approssimazione a rango basso di una matrice di grandi dimensioni mediante la SVD troncata. Corrispondente approssimazione per una matrice quadrata Hermitiana mediante la fattorizzazione spettrale troncata. Grafi non orientati e matrici di adiacenza ad essi associate. Esempio di approssimazione della potenza di una matrie di adiacenza. Migliore approssimazione a rango fissato di una matrice secondo la norma-2 e la norma di Frobenius. Errore di approssimazione. Rappresentazione dei quattro sottospazi fondamentali di una matrice mediante i suoi vettori singolari. Risoluzione di un sistema lineare quadrato mediante la SVD. Espressione della soluzione come combinazione lineare di vettori singolari destri. Rappresentazione della matrice inversa.

13.         Giovedì 21/11/2024, 12–13.         ore: 1(25)

Calcolo della soluzione di minima norma di un sistema lineare a rango $k$ nel senso dei minimi quadrati mediante la SVD. Rappresentazione generale della soluzione di un sistema lineare qualsiasi e della matrice pseudoinversa. Numero di condizionamento nel caso generale e risultato di stabilità per un problema ai minimi quadrati perturbato a rango pieno.

L2.         Giovedì 21/11/2024, 13–14.         ore: 1(3)

Laboratorio Matlab Soluzione di un sistema lineare sottodeterminato a rango pieno mediante le equazioni normali del secondo tipo, la fattorizzazione QR di $A^T$ e l'operatore backslash di Matlab. Confronto dei metodi in termini di residuo, norma della soluzione e tempo di calcolo. Soluzione di un sistema lineare qualsiasi a rango non pieno mediante la SVD e l'operatore backslash di Matlab. Difficoltà nella determinazione del rango numerico quando questa informazione non è disponibile.

14.         Martedì 26/11/2024, 9–11.         ore: 2(27)

Problemi inversi. Esempi: sistemi lineari, integrazione e differenziazione. Equazioni integrali e loro classificazione. Equazioni di Fredholm e di Volterra. Equationi di primo e di secondo tipo. Nucleo e termine noto. Esempi e verifica di una soluzione assegnata mediante sostituzione nell'equazione. La trasformata di Fourier e la convoluzione come equazioni integrali. Una equazione di primo tipo può non ammettere soluzione o ammetterne infinite. Rappresentazione di un'equazione mediante un operatore integrale. Relazione tra esistenza e unicità della soluzione e proprietà del range e del nucleo dell'operatore.

15.         Martedì 3/12/2024, 9–11.         ore: 2(29)

Riepilogo equazioni integrali. Formule di quadratura: nodi e pesi. Formule aperte e chiuse. Errore di quadratura, convergenza, precisione algebrica. Cenni sulle formule Gaussiane. Formule di Newton-Cotes. Formule interpolatorie. Costruzione della discretizzazione. Formula elementare dei rettangoli. Strategia per la costruzione di formule composte. Formula composta dei rettangoli. Formula elementare e composta dei trapezi. Formula elementare e composta di Simpson.

16.         Giovedì 5/12/2024, 12–14.         ore: 2(31)

Riepilogo formule di quadratura. Discretizzazione di un'equazione integrale di prima specie mediante una formula di quadratura. Discretizzazione della variabile esterna mediante collocazione. Sistema lineare risultante. L'equazione integrale di Baart: discretizzazione e commenti sulla risoluzione numerica. Metodi di regolarizzazione. Espressione della soluzione mediante SVD. Conseguenze della presenza di errori sui dati. Considerazioni sul sistema singolare di un problema discreto malposto e sulle componenti della soluzione.

17.         Martedì 10/12/2024, 9–11.         ore: 2(33)

Riepilogo metodi di regolarizzazione. Metodi di regolarizzazione basati su fattori filtro. La TSVD. Fattori filtro corrispondenti. Problema approssimato che fornisce la soluzione regolarizzata e suo numero di condizionamento. Esempi numerici. La regolarizzazione di Tikhonov. Equazioni normali corrispondenti. Espressione esplicita della soluzione. Formulazione come problema ai minimi quadrati libero. Soluzione mediante la SVD. Fattori filtro. Esempi numerici. Cenni sui metodi iterativi regolarizzanti. Introduzione alla stima del parametro di regolarizzazione.

L3.         Venerdì 13/12/2024, 15–18.         ore: 3(6)

Laboratorio Matlab Discretizzazione dell'equazione integrale di Baart. Costruzione del sistema lineare. Risoluzione numerica. Calcolo delle soluzioni regolarizzate mediante la TSVD. Visualizzazione delle soluzioni. Scelta del parametro mediante il criterio di discrepanza e della curva-L. Cenni sull'uso del Regularization Tools di Per Christian Hansen.

18.         Martedì 17/12/2024, 9–11.         ore: 2(35)

Passaggio dalla forma reale della serie di Fourier a quella complessa. Radici $N$-esime dell'unità e loro proprietà di base. Definizione della DFT. Verifica della validità della DFT inversa. Periodicità della DFT. Matrice di Fourier e sue proprietà. Costo computazionale della DFT. Esempi.

19.         Giovedì 19/12/2024, 12–14.         ore: 2(37)

Riepilogo DFT. DFT traslata e sua inversa. Equivalenza con la definizione standard. lo shift dei coefficienti. Cenni storici sulla FFT. Definizione della FFT in Matlab e relazione con la DFT. Approssimazione dei coefficienti di Fourier mediante la formula dei trapezi. Calcolo mediante la DFT traslata. Somma della serie mediante la IDFT. Valutazione su una discretizzazione estesa mediante zero-padding. Considerazioni sulla complessità. Cenni sulle DFT simmetriche. Cenni sull'interpolazione trigonometrica.

L4.         Venerdì 20/12/2024, 9–11.         ore: 2(8)

Laboratorio Matlab Calcolo dei coefficenti di Fourier mediante la DFT. Somma della serie mediante IDFT. Infittimento del campionamento mediante zero-padding. Effetto del noise bianco sui coefficenti di Fourier. Denoising mediante filtraggio con soglia dei coefficenti di Fourier. Riproduzione di un segnale come contenuto audio. Discussione sulla creazione di rumore ad alta frequenza e del suo filtraggio mediante un filtro passa-basso.

Totale ore: 37 (lezione), 8 (laboratorio)